XXIII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ABC$ i $A'B'C'$ . Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ , $\overline{CC'}$ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Niech punkty $O$ i $O'$ będą odpowiednio środkami kół opisanych na trójkątach $ABC$ i $A'B'C'$ . Oznaczmy przez $T$ przesunięcie płaszczyzny o wektor $\overrightarrow{O'O}$ i niech $A'' = T(A')$ , $B'' = T(B')$ , $C'' = T(C')$ . Oznaczmy przez $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ odpowiednio środki odcinków $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ , $\overline{CC'}$ , a przez $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ - środki odcinków $\overline{AA''}$ , $\overline{BB''}$ ,
$\overline{CC''}$ (rys. 6). Mamy $\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_2} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{A'A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA''} =<br /> \frac{1}{2} \overrightarrow{A'A''} = \frac{1}{2} \overrightarrow{O'O}$ . Analogicznie stwierdzamy, że $\overrightarrow{B_1B_2} = \frac{1}{2} \overrightarrow{O'O}$ i $\overrightarrow{C_1C_2} = \frac{1}{2} \overrightarrow{O'O}$ . Zatem punkty $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ są obrazami punktów
$A_1$ , $B_1$ , $C_1$ w przesunięciu o wektor $\frac{1}{2} \overrightarrow{O'O}$ . Wystarczy więc udowodnić, że punkty $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ są współliniowe lub są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Trójkąty równoboczne $\triangle ABC$ , $\triangle A''B''C''$ są wpisane w koło $K$ o środku $O$ . Istnieje więc izometria $\varphi$ , która przeprowadza punkty $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na $A''$ , $B''$ , $C''$ . Przekształca ona koło $K$ na siebie. Izometria $\varphi$ jest więc obrotem o środku w punkcie $O$ lub symetrią osiową.

Jeżeli $\varphi$ jest obrotem (rys. 7), to dokonując obrotu $S$ o kąt $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$ o środku w punkcie $O$ przekształcimy punkty $A$ i $A''$ na punkty $B$ i $B''$ odpowiednio. Wobec tego $S (A_2) = B_2$ i analogicznie $S(B_2) = C_2$ i $S(C_2) = A_2$ . Stąd $\overline{A_2B_2} = \overline{S(A_2) S(B_2)} = \overline{B_2C_2}$ i podobnie $\overline{B_2C_2} = \overline{C_2A_2}$ . Zatem trójkąt $A_2B_2C_2$ jest równoboczny lub $A_2 = B_2 = C_2 =0$ (rys. 8).

Jeżeli izometria $\varphi$ jest symetrią osiową, to punkty $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ należą do osi tej symetrii i wobec tego są współliniowe (rys. 9).