LVIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

III

Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1
lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).
Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi.

Zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia, że suma jej białych
dzielników jest równa sumie jej czarnych dzielników.

Rozwiązanie

Dla liczby całkowitej $k>1$ oznaczmy

$ \begin{split} B(k) & =\hbox{ suma białych dzielników liczby }k, \\ C(k) & =\hbox{ suma czarnych dzielników liczby }k, \\ D(k) & =B(k)-C(k). \end{split} $

Udowodnimy, że dla dowolnych względnie pierwszych liczb całkowitych dodatnich l, $m$ prawdziwa jest równość

$ (1) \qquad D(lm)=D(l)\cdot D(m). $

Istotnie, każdy dodatni dzielnik $d$ iloczynu $lm$ ma jednoznaczne
przedstawienie w postaci $d=ab$ , gdzie $a$ jest dzielnikiem liczby $l$ ,
zaś $b$ jest dzielnikiem liczby $m$ . Ponadto $d$ jest dzielnikiem
białym wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $a$ , $b$ mają ten sam kolor.

Suma wszystkich iloczynów postaci $ab$ , gdzie $a$ , $b$
są odpowiednio białymi dzielnikami liczb $l$ , $m$ , jest równa $B(l)\cdot B(m)$ ,
natomiast suma wszystkich takich iloczynów, w których dzielniki $a$ , $b$
są czarne, wynosi $C(l)\cdot C(m)$ . Zatem

$ B(lm)=B(l)\cdot B(m)+C(l)\cdot C(m). $

Analogicznie uzasadniamy równość

$ (3) \qquad C(lm)=B(l)\cdot C(m)+C(l)\cdot B(m). $

Ze związków (2) i (3) wynika, że

$ \begin{split}D(lm) & = B(l)\cdot B(m)+C(l)\cdot C(m)-B(l)\cdot C(m)-C(l)\cdot B(m)= \\ & =(B(l)-C(l))(B(m)-C(m))=D(l)\cdot D(m), \end{split} $

co kończy dowód zależności (1).

Przypuśćmy teraz, że suma białych dzielników pewnej liczby całkowitej
$n>1$ jest równa sumie jej czarnych dzielników. Mamy więc $D(n)=0$ .
Rozłóżmy liczbę $n$ na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych:

$ n=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2}\cdot\ldots\cdot p_j^{r_j}. $

Na mocy wzoru (1) zachodzi równość

$ D(n)=D(p_1^{r_1})\cdot D(p_2^{r_2})\cdot\ldots\cdot D(p_j^{r_j})=0. $

Wobec tego istnieje liczba pierwsza $p$ i liczba całkowita
dodatnia $r$ , dla których $D(p^r)=0$ . Jest to jednak niemożliwe:
wszystkimi białymi dzielnikami liczby $p^r$ są liczby $1$ , $p^2$ , $p^4$ ,
$\ldots$ , a wszystkimi czarnymi dzielnikami - liczby
$p$ , $p^3$ , $p^5$ , $\ldots$ , i w konsekwencji zachodzi równość

$ D(p^r)=1-p+p^2-p^3+\ldots+(-1)^rp^r, $

zaś liczba stojąca po prawej stronie powyższej równości daje resztę $1$
z dzielenia przez $p$ , jest więc różna od zera.
Doszliśmy zatem do sprzeczności.

Odpowiedź: Nie istnieje.