XXIII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Danych jest sześć punktów w przestrzeni, nie wszystkie w jednej płaszczyźnie. Dowieść, że wśród prostych wyznaczonych przez te punkty jest prosta nierównolegla do żadnej z pozostałych.

Rozwiązanie

Niech punkty $A_1, A_3, \ldots, A_6$ nie leżą w jednej płaszczyźnie i niech $p_{ij}$ będzie prostą zawierającą punkty $A_i$ i $A_j$ , gdzie $1 \leq i<br /> < j \leq 6$ . Przypuśćmy, że każda z prostych $p_{ij}$ jest równoległa do pewnej prostej $p_{s,t}$ , gdzie $\{i, j\} \ne \{s, t\}$ . Ponieważ liczba prostych $p_{ij}$ równa $\displaystyle \binom{6}{2} = 15$ jest nieparzysta, więc istnieje trójka prostych równoległych.

1) Jeżeli trzy proste równoległe są różne, to nie leżą one w jednej płaszczyźnie, ponieważ dany zbiór punktów nie jest zawarty w jednej płaszczyźnie, a każda z prostych zawiera po dwa dane punkty. Zatem dane punkty są wierzchołkami graniastoslupa trójkątnego. Przekątna dowolnej ściany bocznej graniastosłupa nie jest równoległa do żadnej innej prostej wyznaczonej przez jego wierzchołki. Przeczy to początkowemu przypuszczeniu.

2) Jeżeli trzy proste równoległe nie są różne, to w danym zbiorze istnieje trójka punktów współliniowych. Niech np. punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ będą współliniowe.

2a) Jeżeli $A_4 \in A_1A_2$ , to istnieje płaszczyzna $\pi$ zawierająca $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ i z warunków zadania wynika, że $A_6 \not \in \pi$ . Wtedy np. prosta $p_{16}$ nie jest równoległa do żadnej z pozostałych prostych $p_{ij}$ . Mamy bowiem $p_{16} \nparallel p_{i6}$ dla $i = 2, 3, 4, 5$ , ponieważ proste te przecinają się w punkcie $A_6$ . Podobnie $p_{16} \nparallel p_{ij}$ dla $i < j \leq 5$ , ponieważ $p_{ij} \subset \pi$ , a prosta $p_{16}$ przecina $\pi$ . Uzyskaliśmy więc w tym przypadku również sprzeczność z początkowym przypuszczeniem.

2b) Jeżeli wreszcie $A_4 \not \in A_1A_2$ , to punkty $A_1, A_2, A_4$ wyznaczają pewną płaszczyznę $\sigma$ . Możemy też przyjąć, że $A_5, A_6 \not \in \sigma$ . Wtedy żadne dwie z prostych $p_{12}, p_{14}, p_{24}, p_{34}$ nie są równoległe (rys. 10). Wobec tego proste $p_{14}$ i $p_{24}$ nie są równoległe do żadnej innej prostej $p_{ij}$ zawartej w płaszczyźnie $\sigma$ , ani tym bardziej do żadnej prostej przecinającej $\sigma$ . Zatem proste $p_{14}$ i $p_{24}$ mogą być równoległe tylko do prostej $p_{56}$ . Obie jednak do niej równolegle być nie mogą, ponieważ $p_{14} \nparallel p_{24}$ . Wobec tego jedna z prostych $p_{14}, p_{24}$ nie jest równoległa do żadnej z pozostałych prostych $p_{ij}$ . Również w tym przypadku mamy więc sprzeczność z początkowym przypuszczeniem. Przypuszczenie to jest więc fałszywe.