XXIII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2. $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, a $r$ - taką liczbą całkowitą, że

$ (1) \qquad -2n + 1 < r < 2n + 1, $

to liczba $n^2 + r$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej tylko wtedy, gdy $r = 0$ . Istotnie, z (1) wynika, że $(n-1)^2 < n^2 + r < (n+1)^2$ , a liczba $n^2$ jest jedynym kwadratem liczby naturalnej zawartym między $(n-1)^2$ i $(n+1)^2$ .

Gdyby liczby naturalne $x$ i $y$ spełniały równanie dane w zadaniu, wtedy mnożąc obie strony tego równania przez $4$ stwierdzamy że liczba $4( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ jest kwadratem liczby naturalnej. Z drugiej jednak strony

$ (2) \qquad 4(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (2x^2 + x + 1)^2 + (-x^2 + 2x + 3). $

Przyjmując $n = 2x^2 + x + 1$ i $r = -x^2 + 2x + 3$ stwierdzamy bez trudu, że dla naturalnych $x$ spełniona jest nierówność (1), tzn.

$ - 4x^2 - 2x - 1 < -x^2 + 2x + 3 < 4x^2 + 2x + 2. $

Ponadto mamy $r = - (x - 3) (x + 1)$ , a więc równanie $r = 0$ ma tylko jeden pierwiastek w zbiorze liczb naturalnych, mianowicie $x=3$ .

Na mocy początkowej uwagi liczba $4( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ jest więc kwadratem liczby naturalnej tylko, gdy $r = 0$ , tzn. gdy $x = 3$ . Podstawiając tę wartość do danego równania obliczamy, że $y=11$ .

Jedynym rozwiązaniem danego równania w liczbach naturalnych jest więc $x=3$ , $y=11$ .