XXIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Udowodnić, że

$ 2\sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}} $

Rozwiązanie

Oznaczmy $a_n = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}}$ . Wtedy $a_1 = \sqrt{2}$ oraz $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ dla $n = 1, 2, \ldots$ .

Wykorzystując wzór na sumę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

$ 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) $

i wobec tego

$ \sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \sin 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) \frac{\pi}{4} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}. $

Zatem wzór podany w zadaniu można zapisać w następującej równoważnej postaci:

$ (1) \qquad 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = a_n. $

Udowodnimy równość (1) przez indukcję. Przy $n = 1$ równość ta przybiera postać $2 \cos \displaystyle \frac{\pi}{4} = a_1$ . Jest ona prawdziwa, ponieważ $\displaystyle \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $a_1 = \sqrt{2}$ .

Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość (1). Udowodnimy, że

$ (2) \qquad 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = a_{n+1}. $

Na mocy tożsamości $2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos 2 \alpha$ oraz (1) mamy

$ \left( 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} \right)^2 = 2 \left(1 + \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = 2 + 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = 2+ a_n. $

Ponieważ $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} > 0$ , więc otrzymujemy stąd, że $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} = \sqrt{2 + a_n} = a_{n+1}$ ,
czyli równość (2).

Na mocy zasady indukcji równość (1) jest więc prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $n$ .

Uwaga. Zadanie to jest szczególnym przypadkiem zadania przygotowawczego A serii IV, str. 26.