XXIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $a, b, c$ , $x_1, x_2, x_3$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \begin{split} ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\ (1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\ cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2) \end{split} $

oraz $x_1 \neq x_2$ , $x_2 \neq x_3$ , $x_3 \neq x_1$ , $abc \neq 0$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją liczby rzeczywiste $a, b, c, x_1, x_2, x_3$ spełniające warunki zadania. Mnożąc pierwszą równość (1) przez $x$ i odejmując od niej równość drugą otrzymujemy

$ (2) \qquad a (x^3 - 1) = (x - x_3) [ax(x -x_2)-b(x- x_1)]. $

Podstawiając tu $x = x_3$ otrzymujemy, że $a(x_3^3 - 1) = 0$ . Ponieważ $a \ne 0$ , więc wynika stąd, że $x_3^3 - 1 =0$ , czyli $x^3 = 1$ .

Rozpatrując pierwszą i ostatnią równość (1) dowodzimy analogicznie, że $x_2 = 1$ . Przeczy to założeniu, że $x_2 \ne x_3$ .

Uwaga. Zadanie pozostaje prawdziwe, gdy założenie, że $x_1 \ne x_2$ , $x_2 \ne x_3$ , $x_3 \ne x_1$ i $abc \ne 0$ zastąpić przez założenie, że $a \ne 0$ . Można również nie zakładać, że liczby $a, b, c, x_1, x_2, x_3$ są rzeczywiste. Podamy niżej rozwiązanie zadania przy tych słabszych założeniach.