XXIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

Rozwiązanie

Koło o średnicy $1$ ma punkt wspólny z kwadratem $ABCD$ o boku długości $1$ wtedy i tylko wtedy, gdy środek $P$ tego koła jest odległy od pewnego boku kwadratu nie więcej niż o $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Punkt $P$ należy więc do figury $A'B'B''C''C'D'D''A''$ (rys. 11) złożonej z kwadratu $ABCD$ , czterech prostokątów o wymiarach $1 \times \displaystyle \frac{1}{2}$ i czterech ćwiartek koła o promieniu długości $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Pole tej figury równe jest $1 + 4 \cdot 1 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 + \frac{\pi}{4}$ .

Jeżeli więc każdemu ze $120$ danych kwadratów przyporządkujemy taką figurę jak na rys. 11 i oznaczymy sumę tych figur przez $F_1$ , to pole $F_1$ będzie nie większe od $120 \left( 3 + \frac{\pi}{4} \right) = 360 + 30\pi$ , przyporządkowane figury mogą bowiem zachodzić na siebie.

Środek koła o średnicy $1$ należący do danego prostokąta będzie odległy od pewnego boku danego prostokąta mniej niż o $\displaystyle \frac{1}{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy koło nie będzie zawarte w tym prostokącie. Zbiór punktów danego prostokąta odległych od co najmniej jednego z jego boków mniej niż o $\displaystyle \frac{1}{2}$ tworzy figurę $F_2$ (rys. 12) o polu $20 \cdot 25 - 19 \cdot 24 = 44$ .

Ponieważ $\pi < 3,2$ , więc suma pól figur $F_1$ i $F_2$ jes mniejsza niż $360 + 30 \cdot 3,2 + 44 = 500$ . Natomiast pole danego prostokąta równe jest $20 \cdot 25 = 500$ .

Istnieje więc punkt $P$ należący do danego prostokąta i nie należący do figury $F_1$ , ani do figury $F_2$ . Zatem koto o środku w punkcie $P$ i średnicy $1$ jest zawarte w danym prostokącie i nie ma punktów wspólnych z żadnym ze $120$ danych kwadratów.