XXIII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $XOY$ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

Rozwiązanie

Jeżeli długości boków trójkąta są równe odpowiednio $a$ , $b$ , $c$ , a długość promienia koła opisanego na trójkącie równa jest $R$ , to pole trójkąta wyraża się wzorem

$ (1) \qquad S = \frac{abc}{4R}. $

Jeżeli współrzędne wierzchołków trójkąta są równe odpowiednio $A = (a_1, a_2)$ , $B = (b_1, b_2)$ , $C = (c_1, c_2)$ , to jego pole wyraża się wzorem

$ S = \left| \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{array} \right| \right|= \left| \frac{1}{2} (b_1c_2 - b_2c_1 + a_1b_2 - a_2b_1 + c_1a_2 - c_2a_1) \right|. $

Wynika stąd, że jeżeli współrzędne wierzchołków trójkąta są liczbami całkowitymi, to $2S$ jest liczbą całkowitą dodatnią, tzn. $2S \geq 1$ . Wobec tego ze wzoru (1) otrzymujemy, że $\displaystyle \frac{abc}{2R} = 2S \geq 1$ , czyli $abc \geq 2R$ .

Uwaga. Można inaczej udowodnić, że liczba $2S$ jest naturalna. Wpiszmy mianowicie dany trójkąt $ABC$ w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych (rys. 13). Oznaczając $x_1 = \min (a_1, b_1, c_1)$ , $x_2 = \max(a_1, b_1, c_1)$ , $y_1 = \min(a_2, b_2, c_2)$ , $y_2 = \max(a_2, b_2, c_2)$ stwierdzamy, że wierzchołkami tego prostokąta będą punkty $(x_i, y_j)$ , gdzie $i, j = 1, 2$ . Zatem pole prostokąta $N = (x_2 - x_1)(y_2 - y_1)$ jest liczbą naturalną. Różnica tego prostokąta i trójkąta $ABC$ jest sumą co najwyżej trzech trójkątów prostokątnych, których przyprostokątne mają długości wyrażające się liczbami naturalnymi. Wobec tego pola tych trójkątów są równe $\displaystyle \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}$ , gdzie $a, b, c$ są liczbami naturalnymi. Wobec tego pole $S$ trójkąta $ABC$ wyraża się liczbą postaci $\displaystyle \frac{n}{2}$ , gdzie $n \in N$ , mianowicie $S = N - \displaystyle \frac{a+b+c}{2}$ .