XXIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Sześcian o krawędzi długości $n$ podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $n^3$ sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

Rozwiązanie

Jeżeli dwa sześciany jednostkowe mają co najmniej trzy wierzchołki wspólne, to mają całą ścianę wspólną. Na odwrót każda ściana sześcianu jednostkowego nie zawarta w ścianie dużego sześcianu wyznacza parę sześcianów jednostkowych o co najmniej trzech wierzchołkach wspólnych. Wyznaczymy liczbę takich ścian. Sześcianów jednostkowych jest $n^3$ , każdy z nich ma $6$ ścian. Spośród nich $6n^2$ ścian jest zawartych w ścianach dużego sześcianu. Wewnątrz dużego sześcianu znajduje się więc $6n^3 - 6n^2$ ścian sześcianów jednostkowych i każda z nich jest liczona dwukrotnie. Zatem liczba par sześcianów, które mają co najmniej trzy wierzchołki wspólne, równa jest $3n^2 - 3n^2$ . Ponieważ liczba wszystkich par sześcianów jednostkowych równa jest $\displaystyle \binom{n^3}{2} = \frac{1}{2} n^3(n^3- 1)$ , więc liczba par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne, równa jest

$<br /> \frac{1}{2} n^3 (n^3 - 1) - (3n^3 - 3n^2) = \frac{1}{2} n^2 (n^4 - 7n + 6).<br />$