XXIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Udowodnić, że w czworokącie wypukłym wpisanym w koło proste przechodzące przez środki boków i prostopadłe do boków przeciwległych przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Niech czworokąt wypukły $ABCD$ będzie wpisany w koło. Oznaczmy przez $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ odpowiednio środki boków tego czworokąta, a przez $O$ - środek odcinka $PR$ (rys. 14).

Zatem *)

$ \begin{split} & P = \frac{1}{2} (A + B),\ Q = \frac{1}{2} (B + C),\ R = \frac{1}{2} (C + D),\ S = \frac{1}{2} (D + A),\\ & O = \frac{1}{2}(P + R) = \frac{1}{4}(A + B + C +D). \end{split} $

Ponieważ $\displaystyle \frac{1}{2} (Q + S) = \frac{1}{4} (A + B + C + D) = O$ , więc punkt $O$ jest również środkiem odcinka $\overline{QS}$ .

Oznaczmy przez $A'B'C'D'$ obraz czworokąta $ABCD$ w symetrii względem punktu $O$ . Ponieważ w symetrii środkowej środek odcinka przechodzi na środek odcinka, a w rozważanej symetrii punkty $P$ i $R$ przechodzą na $R$ i $P$ , a punkty $Q$ i $S$ - na $S$ i $Q$ , więc punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ są również środkami boków czworokąta $A'B'C'D'$ . Czworokąt $A'B'C'D'$ można wpisać w koło, ponieważ czworokąt $ABCD$ można wpisać w koło i własność ta zachowuje się przy symeirii środkowej. Boki czworokąta $A'B'C'D'$ są równoległe do odpowiednich boków czworokąta $ABCD$ . Zatem proste przechodzące przez środki boków czworokąta $ABCD$ i prostopadłe do jego przeciwległych boków są równe prostym przechodzącym przez środki odpowiednich boków czworokąta $A'B'C'D'$ i prostopadłym do tych boków. Proste te przechodzą przez środek koła opisanego na czworokącie $A'B'C'D'$ , ponieważ boki tego czworokąta są cięciwami okręgu, a prosta przechodząca przez środek cięciwy i do niej prostopadła przechodzi przez środek okręgu. Poszukiwanym punktem jest więc środek okręgu opisanego na czworokącie $A'B'C'D'$ .