XXIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

III

Wielomiany $u_1(x) = a_ix + b_i$ ( $a_i, b_i$ - liczby rzeczywiste; $i = 1, 2, 3$ ) spełniają dla pewnego naturalnego $n > 2$ równanie

$ (1) \qquad [u_1(x)]^n + [u_2(x)]^n = [u_3(x)]^n. $

Udowodnić, że istnieją takie liczby rzeczywiste $A, B, c_1, c_2, c_3$ , że $u_i(x)=c_i(Ax+B)$ dla $i = 1, 2, 3$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $a_1 = a_2 = 0$ , to wielomiany $u_1$ i $u_2$ są stałe. Wobec tego wielomian $u_3$ też jest stały, tzn. $a_3 = 0$ . W tym przypadku wystarczy przyjąć $c_i = b_i$ dla $i = 1, 2, 3$ oraz $A = 0$ i $B = 1$ .

Niech więc co najmniej jedna z liczb $a_1, a_2$ będzie różna od zera, np. $a_1 \ne 0$ . Oznaczając $y = a_1x + b_1$ otrzymamy $u_j(x) = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} y + \frac{b_ja_1 - a_jb_1}{a_1}$ dla $j = 2, 3$ , czyli $u_j(x) = A_jy + B_j$ , gdzie $A_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1}$ , $\displaystyle \frac{b_ja_1 - a_jb_1}{a_1}$ , $j = 2, 3$ . Równość (1) przybiera więc postać

$ (2) \qquad y^n + (A_2y + B_2)^n = (A_3y + B_3)^n,\ \textrm{gdzie} y \in \mathbb{R}. $

Porównując wyrazy wolne i współczynniki przy $y$ i $y^n$ (korzystamy tu z założenia n > 2) po obu stronach równości (2) otrzymamy

$ (3) \qquad B^n_2 = B^n_3, $

$ (4) \qquad n \cdot A_2 B^{n-1}_2 = n \cdot A_3 B_3^{n-1}, $

$ (5) \qquad 1 + A_2^n = A_3^n. $

Jeżeli $B_2 = 0$ , to z (3) wynika, że $B_3 = 0$ i wobec tego $b_ja_1 - a_jb_1 = 0$ dla $j = 2, 3$ , czyli $b_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} b_1$ . Wystarczy więc w tym przypadku przyjąć $c_1 = 1$ , $c_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1}$ dla $j = 2, 3$ , $A = a_1$ , $B = b_1$ .

Jeżeli $B_2 \ne 0$ , to z (3) wynika, że $B_3 = 0$ i dzieląc stronami (4) przez (3) otrzymamy $\displaystyle \frac{A_2}{B_2} = \frac{A_3}{B_3}$ . Podnosząc obie strony ostatniej nierówności do $n$ -tej potęgi i wykorzystując (3) otrzymujemy $A^n_2 = A^n_3$ . Przeczy to równości (5). Zatem ten przypadek nie może mieć miejsca.