XXIII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

III

Dowieść, że istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $x$ z przedziału $\langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle$ zachodzi nierówność

$ \left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000} $

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wielomian $f_n(x) = \displaystyle \frac{1}{2} [(2x - 1)^n + 1]$ . Ma on oczywiście współczynniki całkowite. Ponadto dla $x \in \left< \displaystyle \frac{1}{10};\ \displaystyle \frac{9}{10} \right>$ mamy
$\displaystyle -\frac{4}{5} \leq 2x-1 \leq \frac{4}{5}$ i wobec tego $\left| f_n(x) - \displaystyle \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| 2x - 1 \right|^n \leq \frac{1}{2} \left( \frac{4}{5} \right)^n$ .

Zbadamy, dla jakich liczb naturalnych $n$ zachodzi nierówność $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{4}{5} \right)^n \leq \frac{1}{1000}$ . Przekształcamy ją w sposób równoważny