XXIII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

III

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $K$ dane są punkty $A$ i $B$ . Rzut prostokątny $P$ środka kuli $K$ na prostą $AB$ lezy między punktami $A$ i $B$ , przy czym $AP$ i $BP$ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $Z$ trójkątów $ABC$ , których boki $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ są styczne do kuli $K$ . Udowodnić, że $T$ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $Z$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $Z$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Jeżeli $S$ jest wierzchołkiem, $O$ - środkiem podstawy stożka obrotowego prostego, a punkt $T$ należy do płaszczyzny podstawy, to prosta $ST$ tworzy największy kąt z taką tworzącą $SR$ stożka, że $O \in \overline{TR}$ (rys 16).

Dowód. Dla dowolnego punktu $R$ należącego do obwodu podstawy stożka mamy na mocy twierdzenia cosinusow

$<br /> TR^2 = SR^2 + TS^2 - 2SR \cdot TS \cos \measuredangle TSR.<br />$

Ponieważ wielkości $SR$ i $TS$ są stałe (nie zależą od położenia punktu $R$ ), więc $\measuredangle TSR$ będzie największy, gdy jego cosinus będzie najmniejszy, tzn. gdy $TR$ będzie możliwie duże. To ma miejsce, gdy $O \in \overline{TR}$ .

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech $ABC_O$ będzie tym trójkątem rodziny $Z$ , który zawiera środek $O$ kuli $K$ (trójkąt ten oczywiście należy do rodziny $Z$ ).

Niech $\alpha_0 = \measuredangle BAC_0$ , $\beta_0 = \measuredangle ABC_0$ i analogicznie dla dowolnego trójkąta $ABC$ rodziny $Z$ niech $\alpha = \measuredangle BAC$ , $\beta = \measuredangle ABC$ . Ponieważ prosta $AC$ jest styczna do kuli $K$ , więc jest ona tworzącą stożka obrotowego o osi $AO$ . Na mocy lematu mamy więc $\alpha_0 \geq \alpha$ i podobnie $\beta_0 \geq \beta$ . Rysując trójkąty $ABC_0$ i $ABC$ w jednej płaszczyźnie (rys. 17) stwierdzamy, że $\triangle ABC \subset \triangle ABC_0$ i trójkąty te mają wspólną podstawę. Wobec tego pole i obwód tróikata $ABC_0$ są nie mniejsze odpowiednio od pola i obwodu trójkąta $ABC$ .