XXIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

III

Dowieść, że suma cyfr liczby $1972^n$ dąży do nieskończoności, gdy $n$ dąży do nieskończoności.

Rozwiązanie

Udowodnimy ogólnie, że jeżeli $a$ jest liczbą naturalną parzystą niepodzielną przez $5$ i $s_n$ oznacza sumę cyfr liczby $a^n$ dla $n = 1, 2, \ldots$ , to ciąg $s_n$ dąży do nieskończoności.

Niech $a_r, a_{r-1}, \ldots, a_2, a_1$ , gdzie $a \ne 0$ , będą kolejnymi cyframi liczby $a^n$ , tzn. niech

$ a^n = (a_r, a_{r-1}, \ldots a_2, a_1)_{10}. $

Cyfra $a_1$ jest różna od zera, ponieważ z założenia liczba $a$ nie jest podzielna przez $5$ , a więc i liczba $a_n$ nie jest podzielna przez $5$ . Mamy też $a^n < 10^r$ , czyli $r > n \log_{10} a \geq n \log_{10} 2$ .

Udowodnimy

Lemat.

Dla każdej liczby naturalnej $j$ spełniającej warunek

$ (1) \qquad j \leq \frac{1}{4} \min (r, n) $

co najmniej jedna z cyfr $a_{j+1}, a_{j+2}, \ldots, a_{4j}$ liczby $a^n$ jest różna od zera.

Dowód. Gdyby dla pewnej liczby naturalnej $j$ spełniającej (1) zachodziło $a_{j+1} = a_{j+2} = \ldots = a_{4j} = 0$ , to oznaczając

$ c = (a_j a_{j-1} \ldots a_2 a_1)_{10} $

mielibyśmy $a^n - c = (a_r a_{r-1} \ldots a_{4j+1} 0 \ldots 0)_{10}$ . Zatem $10^{4j} \mid a^n - c$ i tym bardziej $2^{4j} \mid a^n - c$ . Ponadto z $2 \mid a$ wynika, że $2^n \mid a^n$ . Stąd wobec $4^j \leq n$ otrzymujemy $2^{4j} \mid a^n - (a^n - c) = c$ . Jednak $2^{4j} = 16^j > 10^j > c$ . Zatem $c = 0$ . Jest to jednak niemożliwe, ponieważ ostatnia cyfra $a_1$ liczby $c$ jest różna od zera. Uzyskana sprzeczność kończy dowód lematu.

Z założenia i z tego lematu wynika w szczególności, że w każdym z następujących ciągów cyfr istnieje wyraz różny od zera:

$ (2) \qquad \begin{array}{l} a_1, \\ a_2,\ a_3,\ a_4, \\ a_5,\ a_6,\ \ldots,\ a_{16}, \\ \qquad\vdots \\ a_{4^k+1},\ a_{4^k+2},\ \ldots,\ a_{4^k+1}, \end{array} $

gdzie liczba $j = 4^k$ spełnia warunek (1), tzn. $4^k \leq \displaystyle \frac{1}{4} \min (r, n)$ . Ponieważ $\displaystyle \frac{1}{4} \min (r, n) \geq \frac{1}{4} \min (n \log_{10} 2, n) = \frac{1}{4} n \log_{10} 2 > \frac{1}{16} n$ , więc jako $k$ można przyjąć największą liczbę naturalną spełniającą jedną z następujących równoważnych nierówności

$ 4^k \leq \frac{1}{16} n,\ 4^{k+2} \leq n,\ k + 2 \leq \log_4 n,\ \textrm{tzn.} k + 2 = [\log_4 n]. $

Ciągi (2) zawierają różne cyfry liczby $a^n$ , ciągów tych jest $k + 2$ i każdy z nich zawiera cyfrę różną od zera. Zatem suma cyfr $s_n$ liczby $a^n$ jest nie mniejsza od $k + 2 = [\log_4 n]$ .

Ponieważ $s_n \geq [\log_4 n] > \log_4 n - 1$ i $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log_4 n = \infty$ , więc $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n = \infty$ .