XXII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Udowodnić, że dla każdych liczb dodatnich $p$ i $q$ spełniających warunek $p + q = 1$ zachodzi nierówność

$<br /> p \log p + q \log q \geq - \log 2.<br />$

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że $0 < p < 1$ oraz $q = 1 - p$ . Zatem zadanie sprowadza się do tego, by wykazać, że funkcja $f(p) = p \log p + (1 - p) \log (1 - p)$ w przedziale $(0; 1)$ przybiera wartości nie mniejsze od $-\log 2$ . Obliczamy pochodną tej funkcji:

$<br /> f'(p) = \log p + 1 - log(1 - p) - 1 = log \frac{p}{1-p}.<br />$

Rozwiązując równanie $f'(p) = 0$ , czyli $\log \frac{p}{1-p} = 0$ , otrzymujemy $p = \frac{1}{2}$ . Zatem funkcja $f(p)$ może mieć ekstremum tylko w punkcie $p = -\frac{1}{2}$ .

Dla $p \in \left(0; \frac{1}{2} \right)$ mamy $\frac{p}{1-p} < 1$ , czyli $f'(p) < 0$ . Zatem w przedziale $\left( 0; \frac{1}{2} \right)$ funkcja $f(p)$ jest malejąca. Dla $p \in \left( \frac{1}{2}; 1 \right)$ mamy $\frac{p}{1-p}> 1$ czyli $f'(p) >0$ . Zatem w przedziale $\left( \frac{1}{2}; 1 \right)$ funkcja $f(p)$ jest rosnąca. Wobec tego w punkcie $p=\frac{1}{2}$ funkcja $f(p)$ ma minimum równe $f \left(\frac{1}{2} \right) = -\log 2$ i jest to najmniejsza wartość przybierana przez tę funkcję w przedziale $(0; 1)$ . Inaczej mówiąc $f(p) =p\log p +(1 -p) \log (1 - p) \geq -\log 2$ dla każdego $p \in (0; 1)$ .