XXII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Dana jest liczba naturalna $N$ . Obliczyć liczbę takich ciągów $(x_1, \ldots, x_N)$ , że $x_i = 7$ albo $x_i = —13$ ( $i = 1, \ldots, N$ ) oraz

$<br /> \sum_{i=1}^N x_i = 0.<br />$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej $N$ istnieje ciąg $(x_1, \ldots, x_N)$ spełniający warunki zadania. Oznaczmy przez $t$ liczbę wyrazów tego ciągu równych $7$ . Wtedy z warunków zadania wynika, że $7t = 13(N - t)$ , czyli $20r = 13N$ . Wynika stąd, że liczba $N$ jest podzielna przez $20$ .

Na odwrót, jeżeli $N = 20r$ , gdzie $r$ jest pewną liczbą naturalną to, aby otrzymać ciąg $(x_1, \ldots, x_N)$ spełniający warunki zadania, w którym t wyrazów równych jest 7, musimy tak obrać liczbę t, by $20t = 13N$ , czyli $t = 13r$ . Każdy taki ciąg otrzymamy więc pisząc dowolnie na $13r$ miejscach liczbę $7$ , a na pozostałych $-13$ . Liczba takich ciągów jest więc równa $\binom{20r}{13r}$ .

Zatem liczba, o którą chodzi w zadaniu, równa jest $0$ , gdy $N$ nie jest podzielna przez $20$ , i równa jest $\binom{20r}{13r}$ gdy $N = 20r$ .