XXII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Niech $f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy)$ . Znaleźć zbiór wartości funkcji $f(x,y,z)$ rozpatrywanej dla liczb $x,y,z$ spełniających warunki:

$ (1) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \; yz + zx + xy = 2, \; x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0. $

Uwaga: $\max (a, b, c)$ jest to największa z liczb $a, b, c$ .

Rozwiązanie

Z (1) wynika, że

$ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 9, $

a więc $x + y + z = 3$ . Wynika stąd, że warunki (1) dodane w zadaniu są równoważne warunkom:

$ (2) \qquad x^2 + y^2 +z^2 = 5, \quad x+y+z = 3, \quad x\geq 0, \quad y \geq 0, \quad z \geq 0. $

Jeśli dokonamy dowolnej permutacji liter $x$ , $y$ , $z$ , to warunki jadania nie ulegną zmianie. Zatem bez zmniejszenia ogólności możemy ograniczyć się do rozpatrywania tylko takich liczb $x$ , $y$ , $z$ , że $0 < x < y < z$ . Wtedy oczywiście $x^2 - yz \leq y^2 - xz < z^2 - xy$ , i więc $f(x, y, z) = z^2 - xy$ . Za pomocą (1) i (2) obliczamy, że $z^2 - xy = z^2 + yz + zx - 2 = z^2 + z (3 - z) - 2 = 3z - 2$ .

Zadanie nasze sprowadziliśmy więc do następującego: Znaleźć zbiór wartości funkcji $g(z) = 3z - 2$ rozpatrywanej dla liczb $z$ spełniających warunek: istnieją takie liczby $x$ , $y$ , że

$ (3) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \quad x + y + z = 3, \quad 0 \leq x \leq y \leq z. $

Równanie $x + y + z = 3$ określa płaszczyznę $P$ odległą o $\sqrt{3}$ od początku układu, a równanie $x^2 + y^2 + z^2 = 5$ - sferę $S$ o środku w punkcie $(0, 0, 0)$ i promieniu $\sqrt{5}$ . Ponieważ $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ , więc układ równań (3) określa okrąg $K$ będący częścią wspólną płaszczyzny $P$ i sfery $S$ . Interesują nas tylko takie punkty $(x, y, z)$ okręgu $K$ , które spełniają warunek $0 \leq x \leq y \leq z$ . Aby je wyznaczyć, przecinamy okrąg $K$ płaszczyznami $x = 0$ , $x = y$ , $y = z$ . Wyznaczamy punkty przecięcia (rys. 8) rozwiązując następujące układy równań:

$ \left\{ \begin{array}{l} y^2 +z^2=5\\ y + z =3 \end{array} \right. $

Rozwiązania: $A = (0, 1, 2)$ i $B = (0, 2, 1)$ .

$ \left\{ \begin{array}{l} y^2 +z^2=5\\ y + z =3 \end{array} \right. $

Rozwiązania:

$ C= \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{2}{3} \sqrt{3} \right) $

$ D= \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right). $

$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 +2z^2=5\\ x + 2z =3 \end{array} \right. $

Rozwiązania:

$ E= \left(1 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right), $

$ F= \left(1 + \frac{2}{3} \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right). $

Zatem warunek $x \geq 0$ spełniają punkty należące do łuku $\widehat{AFB}$ , warunek $x \leq y$ - punkty należące do łuku $\widehat{CED}$ , a warunek $y \leq z$ - punkty należące do łuku $\widehat{EDF}$ (rys. 8). Wobec tego warunek $0 \leq x \leq y \leq z$ spełniają punkty należące do części wspólnej tych łuków, tzn. punkty należące do łuku $\widehat{AD}$ .

Rzut łuku $\widehat{AD}$ na oś z jest odcinkiem, którego końcami są rzuty punktów $A$ i $D$ , tzn. punkty $(0, 0, 2)$ i $\left( 0, 1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)$ j. Ponieważ funkcja $g(z) = 3z - 2$ jest rosnąca, więc zbiór wartości tej funkcji rozpatrywanej dla punktów łuku $\widehat{AD}$ jest odcinkiem o końcach $g(2) = 4$ i $g \left(1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right) = 1 + 2 \sqrt{3}$ .