XXII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Dany jest sześcian o krawędzi długości 1; niech $S$ oznacza powierzchnię tego sześcianu. Udowodnić, że istnieje taki punkt $A \in S$ , że
1) dla każdego punktu $B \in S$ istnieje łamana łącząca $A$ i $B$ o długości nie większej niż 2 zawarta w $S$ ;
2) istnieje taki punkt $B \in S$ , że nie istnieje łamana łącząca $A$ i $B$ zawarta w $S$ o długości mniejszej niż 2.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $A$ środek jednej ze ścian sześcianu, a przez $B$ - środek ściany przeciwległej (rys. 9). Udowodnimy, że punkt $A$ spełnia warunek 1) zadania, a punkty $A$ i $B$ spełniają warunek 2).

1) Rozetnijmy powierzchnię $S$ sześcianu wzdłuż łamanych $BPC$ , $BQD$ , $BRE$ , $BTF$ i rozwińmy ją na płaszczyźnie. Otrzymamy wtedy figurę $S'$ przedstawioną na rysunku 10. Ponieważ odległości punktu $A$ od $B, B', B'', B'''$ są równe $2$ , więc cała figura $S'$ jest zawarta w kole o środku w punkcie $A$ i długości promienia $2$ . Wynika stąd, że każdy punkt figury $S'$ można połączyć z punktem $A$ odcinkiem o długości nie większej niż $2$ . Odcinek taki będzie oczywiście zawarty w $S'$ . Przechodząc od rozwinięcia $S'$ powierzchni sześcianu do powierzchni sześcianu $S$ każdy taki odcinek wyznaczy łamaną o długości nie większej niż $2$ zawartą w $S$ łączącą punkt $A$ z dowolnym punktem należącym do $S$ .

2) Każda łamana $\mathcal{L}$ łącząca punkty $A$ i $B$ przecina czworokąt $CDEF$ i czworokąt $PQRT$ , ponieważ każdy z tych czworokątów dzieli powierzchnię sześcianu na dwie części, a punkty $A$ i $B$ znajdują się w różnych częściach. Oznaczmy przez $K$ pierwszy punkt przecięcia łamanej $\mathcal{L}$ z czworokątem $CDEF$ , a przez $L$ - ostatni jej punkt przecięcia z czworokątem $PQRT$ . Długość łamanej $\mathcal{L}$ jest nie mniejsza od sumy długości odcinków $\overline{AK}$ , $\overline{KL}$ , i $\overline{LB}$ , ponieważ długość odcinka łączącego dwa punkty jest nie większa od długości każdej łamanej łączącej te punkty. Najmniejsza odległość środka kwadratu od punktu na jego boku jest równa połowie długości boku. Zatem $AK \geq \frac{1}{2}$ i $LB \geq \frac{1}{2}$ . Punkty $K$ i $L$ należą do płaszczyzn równoległych $CDEF$ i $PQRT$ odległych o $1$ . Zatem odległość tych punktów jest nie mniejsza od odległości płaszczyzn, tzn. $KL \geq 1$ . Stąd długość łamanej $\mathcal{L} \geq AK + KL + LB \geq \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$ .