XXII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Znaleźć cyfry $a, b, c$ , dla których przy każdym $n$ naturalnym zachodzi równość

$ \overline{\underbrace{aa\ldots a}_n\underbrace{bb\ldots b}_n} + 1 = (\overline{\underbrace{cc\ldots c}_n} + 1)^2 $

Uwaga: Symbol $\overline{a_1a_2\ldots a_k}$ oznacza liczbę, której kolejnymi cyframi w układzie dziesiętnym są $a_1, a_2, \ldots, a_k$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy $p_n = \overline{\underbrace{11 \ldots 1}_n}$ . Wtedy $p_n = 10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 10 + 1 = \frac{10^n -1}{9}$ i stąd $10^n = 9p_n + 1$ .

Mamy

$ \overline{\underbrace{aa \ldots a}_n \underbrace{bb \ldots b}_n} = \overline{\underbrace{aa \ldots a}_n} \cdot 10^n + \overline{\underbrace{bb \ldots b}_n} = ap_n 10^n + bp_n = ap_n (9p_n + 1) + bp_n $

oraz $(\overline{\underbrace{cc \ldots c}_n} + 1 )^2 = (cp_n + 1)^2 = c^2p^2_n + 2cp_n + 1$ .

Równość dana w zadaniu przybiera więc postać

$ 9ap_n^2 + (a + b)p_n + 1 = c^2p_n^2 + 2cp_n + 1, $

czyli

$ (1) \qquad 9ap_n + (a + b) = c^2p_n + 2c. $

Wykorzystamy twierdzenie: Jeżeli dwa wielomiany $f(x)$ i $g(x)$ dla nieskończenie wielu argumentów $x$ przybierają równe wartości, to mają one odpowiednie współczynniki równe.

W naszym przypadku wielomiany $f(x) = 9ax + (a + b)$ i $g(x) = c^2x + 2c$ przybierają równe wartości dla $x = p_n$ , gdzie $n = 1, 2, \ldots$ . Zatem na mocy przytoczonego twierdzenia odpowiednie współczynniki wielomianów $f(x)$ i $g(x)$ są równe, tzn.

$ (2) \qquad 9a = c^2 \textrm{ i } a + b = 2c. $

Na odwrót, jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają (2), to oczywiście dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość (1). Wystarczy więc wyznaczyć wszystkie takie cyfry $a$ , $b$ , $c$ , które spełniają układ (2). Z pierwszego równania wynika, że cyfra $c$ jest podzielna przez $3$ , tzn. $c = 0, 3, 6$ lub $9$ . W każdym z tych przypadków łatwo wyznaczyć odpowiednie wartości cyfr $a$ i $b$ . Otrzymujemy następujące rozwiązania układu (2): $(a, b, c) = (0, 0, 0)$ , $(1, 5, 3)$ , $(4, 8, 6)$ i $(9, 9, 9)$ .

Uwaga 1. Z założenia, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi (1), można inaczej wyprowadzić układ równań (2). Mianowicie dzieląc stronami równość (1) przez $p_n$ i przechodząc do granicy, gdy $n \to \infty$ otrzymujemy, że $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \infty$ i wobec tego ${\displaystyle \lim_{n \to \infty} }\left( 9a + \frac{a+b}{p_n} \right) = 9a + 0 = 9a$ oraz ${\displaystyle \lim_{n \to \infty} }\left( c^2 + \frac{2c}{p_n} \right)= c^2 + 0 = c^2$ . Zatem $9a = c^2$ . Z tej równości i z (1) wynika, że $a + b = 2c$ .

Uwaga 2. Analogiczne zadanie można rozwiązać w przypadku dowolnej podstawy numeracji $g \geq 2$ . Dokonując podobnych przekształceń, jak w podanym wyżej rozwiązaniu, dochodzimy do równości

$ \nr{1'} (g - 1 )ap_n + (a + b) = c^2p_n + 2c, $

która zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $n$ . Podobnie, jak poprzednio stwierdzamy, że (1') jest równoważna następującemu układowi

$ \nr{2'} (g-1)a = c^2 \textrm{ i } a + b = 2c. $

Znajdziemy wszystkie cyfry $a$ , $b$ , $c$ w układzie numeracji o podstawie $g$ , które spełniają układ równań (2'). Oznaczmy przez $t^2$ największy kwadrat liczby naturalnej $t$ , który jest dzielnikiem liczby $g-1$ . Wtedy $g-1 = t^2s$ , gdzie $s$ jest liczbą bezkwadratową, tzn. $s$ nie jest podzielne przez kwadrat liczby naturalnej większej od jedności. Z pierwszego równania (2') wynika, że liczba $c$ jest podzielna przez $ts$ , tzn. $c = tsu$ , gdzie $u$ jest pewną liczbą całkowitą. Z tego samego równania otrzymujemy, że $a = su^2$ . Wreszcie z drugiego równania układu (2') otrzymujemy, że $b = su(2t - u)$ .

Zatem wszystkie rozwiązania układu (2') w liczbach całkowitych dane są wzorami:

$ \nr{3'} \begin{array}{l} a = su^2,\\ b = su(2t - u),\\ c = tsu, \end{array} $

gdzie $u$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Jednak w naszym zadaniu liczby $a$ , $b$ , $c$ są cyframi przy podstawie numeracji $g$ , tzn. spełniają nierówności $0 \leq a, b, c \leq g - 1 = t^2s$ . Nierówność $0 \leq c \leq g - 1$ można zapisać w postaci $0 \leq tsu < t^2s$ , co jest równoważne z $0 \leq u \leq t$ . Na odwrót, jeżeli $0 \leq u \leq t$ , to mamy $0 \leq a = su^2 \leq st^2 = g - 1$ oraz $0 \leq b = su (2t - u)=s (2tu - u^2) = s (t^2 -(t - u)^2) \leq st^2 = g - 1$ . Zatem wszystkie rozwiązania zadania dane są wzorami (3'), gdzie $0 \leq u \leq t$ .

W szczególności przy $u = 0$ otrzymujemy rozwiązanie $a = b = c = 0$ , a przy $u = t$ - rozwiązanie $a = b = c = g - 1$ .