XXII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Rzucamy $2n$ razy monetą. Niech $p_n$ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $r > n$ . Udowodnić, że $\lim p_n = 0$ .

Rozwiązanie

Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ciągi $2n$ -wyrazowe o wyrazach orzeł lub reszka; wszystkie one są jednakowo prawdopodobne i jest ich $2^{2n}$ . Niech $A_n$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że otrzymamy serię o długości co najmniej $n$ .

Rozważmy następujące trzyetapowe postępowanie:

1) Wybór pewnych $n$ kolejnych miejsc spośród $2n$ ;

2) Umieszczenie na wybranych miejscach samych orłów lub samych reszek;

3) Zapełnienie pozostałych miejsc dowolnie orłami i reszkami. W wyniku każdego takiego postępowania otrzymujemy ciąg będący zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu $A_n$ , ponieważ ciąg taki zawiera serię długości $\geq n$ . Na odwrót każdy ciąg zawierający serię długości $\geq n$ można otrzymać w wyniku takiego postępowania. Oczywiście ten sam ciąg możemy otrzymać kilkakrotnie. Zatem liczba opisanych wyżej sposobów postępowania jest większa od liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A_n$ .

Wyznaczymy teraz liczbę opisanych wyżej sposobów postępowania. Czynność 1) można wykonać na $n + 1$ sposobów, ponieważ pierwszym z wybranych $n$ kolejnych miejsc może być tylko miejsce o numerze $1, 2, \ldots, n$ lub $n + 1$ . Czynność 2) można wykonać na dwa sposoby: albo umieszczając orły, albo umieszczając reszki. Wreszcie czynność 3) można wykonać na $2^n$ sposobów, ponieważ mamy $n$ pozostałych miejsc zapełnić orłami lub reszkami.

Tak więc liczba wszystkich opisanych wyżej sposobów postępowania jest równa $2(n + 1) 2^n$ .

Ze wzoru Newtona otrzymujemy, że dla $n \geq 2$

$<br /> 2^n = (1 + 1)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} > \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.<br />$

Zatem

$<br /> 0 < p(A_n) < \frac{2(n+1)}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{4(n+1)}{n(n-1)} = \frac{4}{n} \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right).<br />$

Ponieważ ${\displaystyle \lim_{n \to \infty}} \frac{4}{n} = 0$ i ${\displaystyle \lim_{n \to \infty}} \frac{2}{n-1} = 0$ , więc wynika stąd, że
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(A_n) = 0$ .