LVIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

III

W czworościanie $ABCD$ spełnione są zależności

$ \begin{split}\measuredangle BAC+\measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+\measuredangle ACD, \\ \measuredangle BAD+\measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+\measuredangle ADC. \end{split} $

Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi $AB$ i $CD$ .

Rozwiązanie

Rozważmy sześciokąt $A_1BA_2CA_3D$ będący siatką czworościanu $ABCD$ (rys. 18).

Przepisując pierwszą z danych w treści zadania równości jako

$ \measuredangle A_1BD+\measuredangle A_3CD=\measuredangle BDC+\measuredangle BA_2C $

widzimy, że suma miar kątów $A_1BA_2$ i $A_2CA_3$ (traktowanych
jako kąty wewnętrzne sześciokąta $A_1BA_2CA_3D$ ,
a zatem niekoniecznie wypukłych) jest równa sumie
miar kątów wewnętrznych trójkątów $BDC$ i $BA_2C$ ,
co daje

$ (1) \qquad \measuredangle A_1BA_2+\measuredangle A_2CA_3=360^\circ. $

Ponieważ $BA_1=BA_2$ oraz $CA_2=CA_3$ (gdyż odpowiednie odcinki
pochodzą z rozklejenia jednej krawędzi czworościanu),
więc na mocy równości (1) trójkąty równoramienne
$A_1BA_2$ i $A_2CA_3$ są podobne (przy czym
mogą być zdegenerowane do odcinka).
Wobec tego

$ (2) \qquad {A_2A_1\over A_2B}={A_2A_3\over A_2C}. $

Ponadto $\measuredangle BA_2A_1=\measuredangle CA_2A_3$ , przy czym oba kąty są jednakowo zorientowane, skąd otrzymujemy

$ (3) \qquad \measuredangle BA_2C=\measuredangle A_1A_2A_3. $

Z zależności (2) i (3) wynika, że
trójkąty $BA_2C$ oraz $A_1A_2A_3$
są podobne. Analogicznie korzystając z drugiej
równości danej w treści zadania dowodzimy,
iż trójkąty $A_1BD$ i $A_1A_2A_3$ są podobne.
Wobec tego podobne są trójkąty $BA_2C$ i $A_1BD$ ;
ze względu na równość $A_1B=BA_2$ są one
przystające. Zatem

$ (4) \qquad A_2C=BD\quad\hbox{oraz}\quad BC=A_1D. $

Niech teraz punkty $M$ , $N$ będą odpowiednio
środkami krawędzi $AB$ , $CD$ w czworościanie $ABCD$ (rys. 19).
Na mocy (4) trójkąty $BDC$ i $ACD$ są przystające.
Wobec tego odcinki $BN$ i $AN$ , będące odpowiednio
środkowymi w tych trójkątach, mają równe długości.
Innymi słowy, $AN=BN$ , zatem w trójkącie równoramiennym
$ANB$ środkowa $NM$ jest prostopadła do boku $AB$ .
Analogicznie rozpatrując trójkąt $CMD$ dowodzimy,
że $MN\perp CD$ .

Prosta $MN$ jest więc krawędzią przecięcia
płaszczyzn symetralnych
krawędzi $AB$ i $CD$ czworościanu $ABCD$ . Środek
sfery opisanej na czworościanie leży na każdej
z tych płaszczyzn, zatem leży na prostej $MN$ ,
co dowodzi tezy.