XXII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Dowieść, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub kąt trójścienny.

Rozwiązanie

Załóżmy, że istnieje wielościan wypukły $W$ nie mający ani ściany trójkątnej, ani kąta trójściennego. Niech $w$ będzie liczbą wierzchołków, $k$ - liczbą krawędzi, a $s$ - liczbą ścian tego wielościanu i niech $\varphi$ będzie sumą miar wszystkich kątów płaskich przy wierzchołkach wielościanu $W$ . Ponieważ z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej cztery krawędzie, a każda krawędź łączy dwa wierzchołki, więc $k \geq \frac{1}{2} \cdot 4w = 2w$ . Ponieważ każda ściana ma co najmniej cztery krawędzie, a dla $n \geq 4$ suma miar kątów wewnętrznych $n$ -kąta jest $\geq 2\pi$ , więc $\varphi \geq 2\pi s$ . Wewnątrz każdej ściany $S_i$ wybierzmy punkt $O_i$ i połączmy go ze wszystkimi wierzchołkami tej ściany. W wyniku otrzymujemy podział powierzchni wielościanu na $2k$ trójkątów, ponieważ każda krawędź jest bokiem dokładnie dwóch trójkątów. Niech $\Psi$ będzie sumą miar kątów we wszystkich trójkątach. Wtedy $4\pi w \leq 2k\pi = \Psi = \varphi + 2\pi s \leq 2\varphi$ , a więc $\varphi < 2\pi w$ . Z drugiej strony, ponieważ wielościan $W$ jest wypukły, więc $\varphi < 2\pi w$ . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje wielościan o założonych własnościach.