XXII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Dowieść, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, to

$ 1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}. $

Rozwiązanie

Ponieważ $C = \pi - (A + B)$ , więc

$ \begin{split} \cos A + \cos B + \cos C &= 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - \cos (A + B) =\\ &=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\cos^2 \frac{A + B}{2} +1. \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} \cos A+\cos B+ \cos C &=1 + 2\cos \frac{A + B}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2}- \cos \frac{A+B}{2} \right) =\\ &= 1 + 4 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}> 1. \end{split} $

Ponadto, biorąc pod uwagę, że $\left| \frac{A-B}{2} \right| \leq \frac{\pi}{2}$ , otrzymujemy

$ \begin{split} \cos A + \cos B + \cos C &= 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\cos^2 \frac{A + B}{2} +1 \leq\\ &\leq2 \cos \frac{A+B}{2} - 2\cos^2 \frac{A+B}{2} + 1 =\\ &= -2 \left( \cos \frac{A + B}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}. \end{split} $