XXII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $Z$ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $Z$ nie są równe. Punkty $A, B$ należące do $Z$ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest punktem najbliższym $B$ lub $B$ jest punktem najbliższym $A$ . Udowodnić, że żaden punkt zbioru $Z$ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $A \in Z$ jest połączony z pewnymi punktami $B$ i $C$ zbioru $Z$ i niech na przykład $AB < AC$ . Wtedy punkt $C$ nie jest najbliższy $A$ , a więc z warunków zadania wynika, że punkt $A$ jest najbliższy $C$ . W szczególności więc $AC < BC$ . Zatem w trójkącie $ABC$ bok $\overline{BC}$ jest najdłuższy, a więc kąt $\measuredangle BAC$ jest największy. Wynika stąd, że $\measuredangle BAC > \frac{\pi}{3}$ .

Udowodniliśmy w ten sposób, że jeżeli punkt $A \in Z$ jest połączony z pewnymi punktami $B$ i $C$ zbioru $Z$ , to $\measuredangle BAC > \frac{\pi}{3}$ .

Jeżeli więc punkt $A \in Z$ jest połączony (rys. 13) z punktami $B_1, B_2, \ldots, B_n$ zbioru $Z$ , to

$ \measuredangle B_1AB_2 > \frac{\pi}{3},\ \measuredangle B_2AB_3 > \frac{\pi}{3},\ \ldots, \measuredangle B_nAB_1 > \frac{\pi}{3}. $

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy, że $2\pi > n \frac{\pi}{3}$ czyli $n < 6$ . Zatem liczba $n$ punktów zbioru $Z$ , z którymi jest połączony punkt $A$ jest nie większa od $5$ .