XXII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

Dany jest ciąg nieskończony $\{a_n\}$ . Dowieść, że jeżeli

$ a_n + a_{n+2} > 2a_{n+1} \quad \tex{ dla } \quad n = 1, 2, \ldots, $

$ \frac{a_1+a_3+\ldots a_{2n+1}}{n+1} \geq \frac{a_2+a_4+\ldots a_{2n}}{n} $

dla $n = 1, 2, \ldots$ .

Rozwiązanie

Nierówność $a_n + a_{n+2} \geq 2a_{n+1}$ daną w założeniu przekształcamy do postaci równoważnej

$ (1) \qquad a_{n+2} - a_{n+1} \geq a_{n + 1} - a_n/ $

Oznaczając $b_{n+1} = a_{n+1} - a_n$ dla $n = 1, 2, \ldots$ nierówność (1) można zapisać w postaci $b_{n+2} > b_{n+1}$ . Zatem ciąg $\{b_n\}$ jest niemalejący.

Nierówność daną w tezie przekształcamy do postaci równoważnej

$ (2) \qquad n(a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1}) \geq (n + 1)(a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n}). $

Nierówność (2) udowodnimy przez indukcję ze względu na $n$ . Dla $n = 1$ przybiera ona postać $a_1 + a_3 \geq 2a_2$ . Jest to szczególny przypadek nierówności danej w założeniu.

Załóżmy z kolei, że nierówność (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $n$ , udowodnimy, że zachodzi ona dla liczby $n + 1$ , tzn. że

$ (3) \qquad (n +1)(a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1} + a_{2n+3}) \geq (n + 2) (a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} + a_{2n+2}). $

Porównując (2) i (3) stwierdzamy, iż wystarczy dowieść, że

$ (4) \qquad (a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1}) + (n + 1)a_{2n+3} \geq (a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n}) + (n + 2)a_{2n+2}. $

Wtedy dodając stronami (2) i (4) otrzymamy (3).

Przekształcamy nierówność (4) w sposób równoważny

$ \begin{split} (n + 1)(a_{2n+3} - a_{2n+2}) \geq (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + \\ +(a_{2n} - a_{2n} - 1) + (a_{2n+2} - a_{2n+1}), \end{split} $

$ (5) \qquad (n + 1) b_{2n+3} \geq b_2 + b_4+ \ldots +b_{2n} + b_{2n+2}. $

Ponieważ, jak stwierdziliśmy na początku, ciąg $\{b_n\}$ jest niemalejący, więc w szczególności

$b_{2n + 3} \geq b_2,$

$b_{2n + 3} \geq b_4,$

$\ldots$

$b_{2n + 3} \geq b_{2n},$

$b_{2n + 3} \geq b_{2n+2}.$

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy (5). Zatem prawdziwe są nierówności (4) i (3). Wobec tego na mocy zasady indukcji nierówność (2) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ .