XXII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $a_n$ jest ciągiem różnych liczb naturalnych, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają, cyfry O, to

$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} < 29. $

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $b_n$ liczbę powstającą z liczby $a_n$ przez zastąpienie wszystkich jej cyfr prócz pierwszej zerami. Mamy oczywiście $b_n \leq a_n$ i wobec tego $\frac{1}{a_n} \leq \frac{1}{b_n}$ . W ciągu $\{a_n\}$ jest $9$ liczb jednocyfrowych, $9^2$ liczb dwucyfrowych i ogólnie $9^k$ liczb $k$ -cyfrowych, ponieważ każda cyfra takiej liczby może przybierać jedną z dziewięciu wartości $1, 2, \ldots, 9$ .

Wśród $9^k$ liczb $k$ -cyfrowych ciągu $\{a_n\}$ jest $9^{k-1}$ takich, których pierwszą cyfrą jest $1$ , $9^{k-1}$ takich, których pierwszą cyfrą jest $2$ itd. Wobec tego w ciągu $\{b_n\}$ liczba $k$ -cyfrowa $c 00 \ldots 0$ , gdzie $c$ jest ustaloną cyfrą różną od zera, powtarza się $9^{k-1}$ razy.

Stąd

$ \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } k \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n} = 9^{k-1} \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c00 \ldots 0} = 9^{k-1} \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c \cdot 10^{k-1}} = \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1} \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c}. $

Obliczamy bezpośrednio, że

$ s_9 = \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{9} = 2,8289\ldots < 2,9. $

Wobec tego

$ \begin{split} \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } \leq r \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n}&= \sum_{k=1}^r \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } k \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n} = \sum_{k=1}^r s_9 \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1} =\\ &=s_9 \sum_{k=1}^r \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1} = s_9 \frac{1 - 0,9r}{1 - 0,9} < s_9 \frac{1}{1-0,9} = 10s_9. \end{split} $

Ponieważ nierówność $\displaystyle \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } \leq r \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n} < 10 s_9$ ma miejsce dla każdej liczby
naturalnej $r$ , więc $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{b_n} \leq 10 s_9 < 29$ . Tym bardziej $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} < 29$ .