XXII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

III

Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne, pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem "kąt padania równy kątowi odbicia". Udowodnić, że liczba kierunków, w jakich może się poruszać kula, jest skończona. (Zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw następujący
Lemat. Po dwukrotnym odbiciu kuli kolejno od boków $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ trójkąta $ABC$ (rys. 14) kierunek ruchu kuli zmienia się o kąt $2 \measuredangle BAC$ .

Dowód. Rozpatrzmy obraz $AB'C$ trójkąta $ABC$ w symetrii względem prostej $AC$ oraz obraz $AB'C'$ trójkąta $AB'C$ w symetrii względem prostej $AB'$ . Oznaczmy przez $k$ , $l$ , $m$ kolejne wektory obrazujące ruch kuli, przez $l'$ , $m'$ - obrazy wektorów $l$ , $m$ w pierwszej symetrii, a przez $m''$ - obraz wektora $m'$ w drugiej symetrii (rys. 14).

Z prawa ,,kąt padania równy jest kątowi odbicia'' wynika, że wektory $k$ , $l'$ , $m''$ mają ten sam kierunek. Ponieważ złożenie rozważanych symetrii jest obrotem wokół punktu $A$ o kąt $2\measuredangle BAC$ , więc trójkąt $AB'C'$ jest obrazem trójkąta $ABC$ przy tym obrocie, a wektor $m''$ - obrazem wektora $m$ . Wynika stąd, że kierunki wektorów $k$ i $m$ różnią się o kąt $2 \measuredangle BAC$ .

Przystąpimy teraz do rozwiązania zadania. Ponieważ miary kątów trójkąta $ABC$ są współmierne, więc istnieje taka liczba $\lambda$ i liczby naturalne $r$ , $s$ , $t$ , że $\measuredangle BAC = r\lambda$ , $\measuredangle ABC = s\lambda$ , $\measuredangle ACB = t\lambda$ . Stąd $\lambda (r + s + t) = \pi$ . Oznaczając $n = r + s + t$ otrzymujemy, że $\lambda = \frac{\pi}{n}$ .

Zatem na mocy lematu po parzystej liczbie odbić kierunek ruchu kuli zmienia się o kąt, którego miara jest parzystą wielokrotnością liczby $\lambda = \frac{\pi}{n}$ , a więc jedną z liczb $2\lambda, 4\lambda, 6\lambda, \ldots, 2n\lambda = 2\pi$ . Zatem po parzystej liczbie odbić ruch kuli może się odbywać po jednym z $n$ kierunków. Podobnie po nieparzystej liczbie odbić ruch kuli może się odbywać po jednym z $n$ kierunków. Łączna liczba kierunków, po których porusza się kula, jest więc nie większa od $2n$ .

Uwaga. Analogicznie można udowodnić, że jeżeli w zadaniu trójkąt zastąpić dowolnym wielokątem, którego miary kątów są współmierne, to również liczba kierunków, po jakich może się poruszać kula w takim wielokącie, jest skończona.