LVIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

III

Ciąg $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ jest określony przez warunki: $a_0=-1$ oraz

$ a_n+{a_{n-1}\over 2}+{a_{n-2}\over 3}+\ldots+{a_1\over n}+{a_0\over n+1}=0 \qquad\hbox{dla }n\ge 1. $

Wykazać, że $a_n>0$ dla $n\ge 1$ .

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny.

Liczba $a_1={1\over 2}$ jest dodatnia. Przypuśćmy z kolei,
że dla pewnego wskaźnika $n$ liczby $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$
są dodatnie. Udowodnimy, że liczba $a_{n+1}$ również jest
dodatnia. W tym celu zauważmy, że prawdziwa jest zależność

$ {1\over k+1}\le{n\over n+1}\cdot{1\over k}\qquad \hbox{dla }k=1,2,\ldots,n, $

gdyż jest ona równoważna nierówności $(n+1)k=nk+k\le (k+1)n=nk+n$ .
Zatem korzystając z założenia indukcyjnego oraz z danej
w treści zadania równości otrzymujemy

$ \begin{split}{1\over n+2} & = a_{n+1}+{a_n\over 2}+{a_{n-1}\over 3}+\ldots+{a_2\over n}+{a_1\over n+1}\le \\ & \le a_{n+1}+{n\over n+1}\Bigl(a_n+{a_{n-1}\over 2}+\ldots+{a_2\over n-1}+ {a_1\over n}\Bigr)= \\ & =a_{n+1}+{n\over n+1}\cdot{-a_0\over n+1}=a_{n+1}+{n\over (n+1)^2}. \end{split} $

Wobec tego spełniona jest nierówność

$ a_{n+1}\ge{1\over n+2}-{n\over (n+1)^2}={1\over (n+1)^2(n+2)}>0, $

która kończy dowód indukcyjny i rozwiązanie zadania.