XXII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXII OM, 1970-1971

Etap:

III

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 1. Udowodnić, że:
1) Na powierzchni $S$ czworościanu istnieją takie cztery punkty, że odległość każdego punktu powierzchni $S$ od jednego z tych czterech punktów nie przekracza $\frac{1}{2}$ .
2) Na powierzchni $S$ nie istnieją trzy punkty o podobnej własności.
Przez odległość punktów należących do $S$ rozumiemy kres dolny długości łamanych zawartych w $S$ łączących te punkty.

Rozwiązanie

1) Zauważmy najpierw, że w trójkącie równobocznym o boku długości $1$ środki dwóch boków mają tę własność, że każdy punkt należący do trójkąta jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Istotnie, zakreślając koła o środkach w tych punktach (rys. 15) i promieniach długości $\frac{1}{2}$ stwierdzamy, że trójkąt jest zawarty w sumie tych kół.

W czworościanie foremnym $ABCS$ obierzmy punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $T$ będące środkami krawędzi $\overline{AS}$ , $\overline{BS}$ , $\overline{AC}$ , $\overline{BC}$ (rys. 16). W ten sposób do każdej ze ścian czworościanu należą dwa z punktów $P$ , $Q$ , $R$ , $T$ i są one środkami dwóch krawędzi tej ściany. Z uwagi zrobionej na początku wynika więc, że każdy punkt dowolnej ściany czworościanu jest odległy od jednego z punktów $P$ , $Q$ , $R$ , $T$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ .

2) Przypuśćmy, że istnieją trzy punkty $P$ , $Q$ , $R$ należące do powierzchni czworościanu takie, że dowolny punkt powierzchni czworościanu jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Ponieważ czworościan ma cztery wierzchołki, więc co najmniej dwa wierzchołki są odległe od tego samego punktu z $P$ , $Q$ , $R$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Niech na przykład punkty $A$ i $S$ będą odległe od $P$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Ponieważ odległość punktów $A$ i $S$ równa jest $1$ , więc wynika stąd, że punkt $P$ jest środkiem krawędzi $\overline{AS}$ .

Zauważmy, że każdy punkt należący do wysokości $\overline{SD}$ ściany $SBC$ (za wyjątkiem punktu $S$ ) jest odległy od punktu $P$ więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Istotnie, rozważmy rozwinięcie powierzchni czworościanu foremnego $ABCS$ (rys. 17). Zakreskowany obszar składa się z punktów odległych od $P$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Wysokość $\overline{SD}$ ma tylko punkt $S$ wspólny z tym obszarem.

Gdyby więc punkt $S$ był odległy więcej niż o $\frac{1}{2}$ od każdego z punktów $Q$ i $R$ , to i każdy punkt pewnego otoczenia punktu $S$ miałby podobną własność. Wobec tego punkty odcinka $\overline{SD}$ dostatecznie bliskie punktu $S$ byłyby odległe od każdego z punktów $P$ , $Q$ , $R$ więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Jest to jednak sprzeczne z naszym pierwotnym przypuszczeniem. Zatem punkt $S$ jest odległy od jednego z punktów $Q$ i $R$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ i podobnie stwierdzamy, że punkt $A$ jest odległy od jednego z punktów $Q$ i $R$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Ponieważ wierzchołki $B$ i $C$ są odległe od punktu $P$ więcej niż o $\frac{1}{2}$ , więc również każdy z punktów $B$ i $C$ jest odległy od jednego z punktów $Q$ i $R$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Wynika stąd, że co najmniej dwa z punktów $A$ , $B$ , $C$ , $S$ są odległe od jednego z punktów $Q$ i $R$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ .

Niech na przykład punkty $B$ i $S$ będą odległe od $Q$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ (pozostałe przypadki rozpatruje się podobnie). Wtedy punkt $Q$ jest środkiem krawędzi $\overline{BS}$ , a punkt $R$ - środkiem krawędzi $\overline{AC}$ .

Wówczas jednak rozumując podobnie, jak poprzednio, stwierdzamy, że punkty należące do wysokości $\overline{BE}$ ściany $ABC$ położone dostatecznie blisko punktu $B$ są odległe od każdego z punktów $P$ , $Q$ , $R$ więcej niż o $\frac{1}{2}$ . Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieją trzy punkty $P$ , $Q$ , $R$ należące do powierzchni czworościanu $ABCS$ takie, że każdy punkt powierzchni czworościanu jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $\frac{1}{2}$ .