XXI OM - I -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = 1. $

Rozwiązanie

Jeśli $|x| \geq 2$ i $|y| \geq 2$ , to

$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} \leq \frac{1}{x^2} + \frac{1}{|xy|} + \frac{1}{y^2} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} < 1. $

Zatem, jeśli para liczb całkowitych $x$ , $y$ jest rozwiązaniem równania (1), to $|x| = 1$ lub $|y| = 1$ . Jeżeli $|x| = 1$ , to równanie to przyjmuje postać $1 + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2}= 1$ , czyli $\frac{x+y}{xy^2} = 0$ . Wobec tego $x + y = 0$ . Wynika stąd, że jeśli $x = 1$ , to $y = - 1$ i jeśli $x = - 1$ , to $y = 1$ .

Rozpatrując podobnie przypadek $|y| = 1$ otrzymujemy, że jeśli $y = \pm 1$ , to $x = \mp 1$ . Równanie (1) ma więc dwa rozwiązania $(-1, 1)$ i $(1, -1)$ w liczbach całkowitych.