XXI OM - I -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Dany jest ciąg $\{c_n\}$ określony wzorami $c_1=\frac{a}{2}$ , $c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2}$ gdzie $a$ jest daną liczbą spełniającą nierówność $0 < a < 1$ . Dowieść, że dla każdego $n$ zachodzi nierówność $c_n < 1 - \sqrt{1 - a}$ Wykazać zbieżność ciągu $\{c_n\}$ i obliczyć jego granicę.

Rozwiązanie

Z określenia ciągu $\{c_n\}$ wynika, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stosując metodę indukcji wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad c_n < 1 - \sqrt{1-a}. $

Stwierdzamy najpierw, że $c_1 < 1 - \sqrt{1 - a}$ , tzn., że

$ (2) \qquad \frac{a}{2} < 1 - \sqrt{1-a}. $

Mianowicie mamy

$ \sqrt{1-a} < \sqrt{1-a + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\left(1-\frac{a}{2}\right)^2} = \left| 1 - \frac{a}{2} \right| = 1 - \frac{a}{2}. $

Wynika stąd (2).

Jeśli zaś dla pewnej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ \begin{split} c_n & < 1 - \sqrt{1-a}, \textrm{ to } c_{n+1} = \frac{a + c^2_n}{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{2} (1 - \sqrt{1-a})^2 =\\ &= \frac{a}{2} + \frac{1}{2} (1 - 2 \sqrt{1-a} + 1 -a) = \frac{a}{2} + 1 - \frac{a}{2} - \sqrt{1-a} = 1 - \sqrt{1-a}. \end{split} $

Na mocy indukcji nierówność (1) jest więc prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $n$ .

Udowodnimy, że ciąg $\{c_n\}$ jest rosnący, tzn., że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ (3) \qquad c_{n+1} > c_n. $

Obliczamy, że

$ \begin{split} c_{n+1} - c_n &= \frac{a+c_n^2}{2} - c_n = \frac{a+c_n^2 - 2c_n}{2}= \frac{(c_n-1)^2 - (1-a)}{2} =\\ &=\frac{(c_n-1)^2 - (\sqrt{1-a})^2}{2} = \frac{(c_n-1-\sqrt{1-a})(c_n-1+\sqrt{1-a})}{1}. \end{split} $

Dowiedliśmy, że $c_n < 1 - \sqrt{1 - a}$ , a więc tym bardziej $c_n < 1 + \sqrt{1 - a}$ . Wobec tego $c_n - 1 + \sqrt{1 -a} < 0$ i $c_n - 1 - \sqrt{1 - a} < 0$ . Zatem $c_{n+1} - c_n > 0$ . Wykazaliśmy więc, że ciąg $\{c_n\}$ jest rosnący i ograniczony z góry.

Jak wiadomo, każdy ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. Oznaczmy $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = g$ .

Z równości $c_{n+1} = \frac{a + c_n^2}{2}$ wynika, że $g = \frac{a + g^2}{2}$ , czyli $g^2 - 2g + a = 0$ . Otrzymujemy stąd, że

$ g = \frac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-a}. $

Ponieważ jednak wszystkie wyrazy ciągu $\{c_n\}$ są mniejsze od liczby $1 - \sqrt{1 - a}$ , a $1- \sqrt{1 - a} < 1 + \sqrt{1 - a}$ , więc liczba $1 + \sqrt{1 - a}$ nie jest granicą ciągu $\{c_n\}$ . Wobec tego $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = 1 - \sqrt{1 - a}$ .