XXI OM - I -Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Na bokach $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $K, L, M$ w taki sposób, że odcinki $\overline{AK}$ , $\overline{BL}$ , $\overline{CM}$ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $\frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM}$ . Dowieść, że $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta.

Rozwiązanie

Z danej równości stosunków wynika, że trójkąty $KLM$ i $ABC$ (rys. 3) są jednokładne względem punktu $S$ , wobec czego proste $KL$ , $LM$ , $MK$ są odpowiednio równoległe do prostych $AB$ , $BC$ , $CA$ . Stosując twierdzenie Talesa kolejno do kątów $\measuredangle A$ , $\measuredangle B$ , $\measuredangle C$ otrzymujemy

$ \frac{AM}{BM} = \frac{AC}{CL} $

$ (1) \qquad \frac{BM}{AM} = \frac{BK}{CK} $

$ (2) \qquad \frac{CK}{BK} = \frac{CL}{AL}. $

Mnożąc te równości stronami otrzymujemy, że $\frac{CK}{BK} = \frac{BK}{CK}$ . Zatem $CK^2 = BK^2$ , czyli $CK = BK$ . Podstawiając $CK = BK$ do (1) i (2) otrzymujemy, że $AM = BM$ i $AL = CL$ . Oznacza to, że punkty $K$ , $L$ , $M$ są odpowiednio środkami odcinków $\overline{BC}$ , $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ . Wobec tego $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ .