XXI OM - I -Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Dane są liczby rzeczywiste $M$ , $a_1, a_2, \ldots, a_10$ . Udowodnić, że jeżeli $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_{10}x_{10} \leq M$ dla wszystkich takich $x_i$ , że $|x_i| = 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, 10$ ), to

$ \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{10}^2} \leq M. $

Rozwiązanie

Jeśli $a_i \geq 0$ , to podstawiamy do danej nierówności $x_i = 1$ , a jeśli $a_i < 0$ , to podstawiamy $x_i = - 1$ przy $i = 1, 2, \ldots, 10$ . Otrzymamy wtedy