XXI OM - I -Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Udowodnić, że liczba rzeczywista $a$ jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $p > n > m \leq 0$ , że $a + m, a + n, a + p$ tworzą ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Niech $a$ będzie liczbą wymierną. Obieramy taką liczbę naturalną $m$ , że $a + m > 0$ . Wtedy

$ a + m = \frac{r}{q}, $

gdzie $r$ i $q$ są liczbami naturalnymi.

Rozpatrzmy ciąg geometryczny o ilorazie $1 + q$ i pierwszym wyrazie $\frac{r}{q}$ . Zatem kolejnymi wyrazami ciągu będą r

$ \frac{r}{q} = a + m, $

$ \frac{r}{q} (1 + q) = \frac{r}{q} + r = a + m + r, $

$ \frac{r}{q} (1 + q)^2 = \frac{r}{q} (1 + 2q + q^2) = \frac{r}{q} +2r + rq = a + m + 2r + rq. $

Przyjmując więc $n = m + r$ i $p = m + 2r + rq$ stwierdzamy, że $m$ , $n$ , $p$ są liczbami całkowitymi spełniającymi warunek $0 \leq m < n < p$ . Ponadto liczby $a + m$ , $a + n$ , $a + p$ tworzą ciąg geometryczny.

Na odwrót przypuśćmy, że liczby całkowite $m$ , $n$ , $p$ spełniają warunek $0 \leq m< n <p$ oraz, że dla pewnej liczby rzeczywistej $a$ liczby $a + m$ , $a + n$ , $a + p$ tworzą ciąg geometryczny.