XXI OM - I -Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $\alpha$ . Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan \alpha$ . jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

Rozwiązanie

Załóżmy dla uproszczenia, że stół bilardowy jest kwadratem o wierzchołkach w punktach $A(0, 0)$ , $B(1, 0)$ , $C(1, 1)$ , $D(0, 1)$ (rys. 6). Niech w chwili początkowej kula znajduje się w punkcie $P(a, b)$ , gdzie $0 < a < 1$ , $0 < b < 1$ .

Oznaczmy przez $v$ prędkość, z jaką się ona porusza w chwili początkowej, a przez $\alpha$ - kąt, jaki tworzy kierunek jej ruchu z osią $x$ . Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ . Jeśli $\alpha = 0^\circ$ lub $\alpha = 90^\circ$ , to kula porusza się po odcinku równoległym do osi $x$ lub $y$ . Załóżmy więc, że $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ .

Rozpatrzmy rzuty $P_x = P_x (t)$ i $P_y = P_y (t)$ odpowiednio na oś $x$ i $y$ punktu, w którym znajduje się kula w chwili $t$ . Z warunków zadania wynika, że punkt $P_x$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $v_1 = v \cos \alpha$ po odcinku $\langle 0,\ 1 \rangle$ na osi $x$ z tym, że po każdym odbiciu kuli od boku $\overline{BC}$ lub $\overline{AD}$ kierunek ruchu punktu $P_x$ zostaje zmieniony na przeciwny. Zatem w chwili $t_1 = \frac{2}{v_1} = \frac{2}{v \cos \alpha}$ punkt $P_x$ po dwukrotnym obiegu odcinka $\langle 0,\ 1 \rangle$ na osi $x$ znajdzie się w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Ogólnie, w chwili $t_n = \frac{2n}{v \cos \alpha}$ , gdzie $n = 1, 2, \ldots$ , punkt $P_x$ będzie się znajdował w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Analogicznie dowodzimy, że w chwili $t_m' = \frac{2m}{v_1} = \frac{2m}{v \sin \alpha}$ , gdzie $m = 1,2, \ldots$ , punkt $P_y$ , znajdzie się w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Wobec tego kula powróci do punktu początkowego i kierunek jej ruchu będzie taki sam, jak w chwili początkowej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka chwila $t$ , że zarówno punkt $P_x$ , jak i $P_y$ będą w tej chwili znajdowały się w położeniu początkowym i kierunek ich ruchu będzie taki sam, jak na początku. Jest to równoważne temu, że istnieją takie liczby naturalne $n$ i $m$ , że $t = t_n$ i $t = t'_m$ , tzn.