XXI OM - I -Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Udowodnić, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie to jest fałszywe. Rozpatrzmy trójkąty równoboczne $ABC$ i $ABD$ (rys. 7) o wspólnej podstawie $\overline{AB}$ i boku równym $1$ . Z naszego przypuszczenia wynika, że każdy z wierzchołków trójkąta $ABC$ należy do innego z trzech różnych podzbiorów, na które podzieliliśmy płaszczyznę. Podobnie każdy z wierzchołków trójkąta $ABD$ należy do innego z trzech różnych zbiorów, na które podzieliliśmy płaszczyznę. Wobec tego punkty $C$ i $D$ należą do tego samego zbioru. Odległość tych punktów równa jest $\sqrt{3}$ .

Z powyższego rozumowania wynika, że każde dwa punkty płaszczyzny odległe o $\sqrt{3}$ należą do tego samego podzbioru. Można je bowiem traktować jako wierzchołki odpowiednich trójkątów równobocznych o wspólnej podstawie i o boku $1$ .

Rozpatrzmy teraz trójkąt $PQR$ (rys. 8) o bokach $\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ , $1$ . Z powyższego wynika, że punkty $P$ i $Q$ oraz $O$ i $R$ należą do tego samego zbioru. Wobec tego również punkty $P$ i $R$ należą do tego samego zbioru. Są one jednak odległe o $1$ , co przeczy naszemu pierwotnemu przypuszczeniu.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że rozważane twierdzenie jest prawdziwe.