XXI OM - II -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Udowodnić, że

$ (1) \qquad |\cos n\beta - \cos n\alpha| \leq n^2 |\cos \beta - \cos\alpha|, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Zbadać, dla jakich wartości $n$ , $\alpha$ , $\beta$ zachodzi równość.

Rozwiązanie

Udowodnimy przez indukcję, że dla każdej liczby naturalnej $n > 1$ i liczby $x \ne k\pi$ ( $k \in \mathbb{C}$ ) zachodzi nierówność

$ (2) \qquad | \sin nx | < n | \sin x |. $

Załóżmy prawdziwość (2) dla pewnej liczby naturalnej $n > 1$ ; udowodnimy prawdziwość analogicznej nierówności dla liczby $n + 1$ . Mamy

$ \begin{split} |\sin(n + 1)x| & = |\sin nx \cos x + \cos nx \sin x| \leq |\sin nx| \cdot |\cos x| + |\cos nx| \cdot |\sin x| \leq \\ & \leq |\sin nx| + |\sin x| < n |\sin x| + |\sin x| = (n + 1)|\sin x|. \end{split} $

Zatem, jeśli $\alpha + \beta \ne 2k\pi$ i $\alpha - \beta \ne 2k\pi$ i $n > 1$ , to korzystając z tożsamości

$ \cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} $

i z nierówności (2) otrzymujemy

$ \begin{split} | \cos n \beta - & \cos n \alpha | = 2 \left|\sin n \cdot \frac{\beta + \alpha}{2} \right| \left| \sin n \cdot \frac{\beta - \alpha}{2} \right| \leq \\ & \leq 2n^2 \left| \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \right| \left| \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right| = n^2 \left| -2 \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right| = \\ & = n^2 |\cos \beta - \cos \alpha|. \end{split} $

Jeśli zaś $n = 1$ , to oczywiście w (1) zachodzi równość. Podobnie, jeśli $\alpha + \beta = 2k\pi$ lub $\alpha - \beta = 2k\pi$ , to $\cos \alpha = \cos \beta$ oraz $\cos n \alpha = \cos n \beta$ i też w (1) zachodzi równość.