XXI OM - II -Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Dowieść, że jeżeli trójkąt $T_1$ zawiera trójkąt $T_2$ , to obwód trójkąta $T_1$ jest nie mniejszy od obwodu trójkąta $T_2$ .

Rozwiązanie

W wierzchołkach trójkąta $T_2$ wystawiamy proste prostopadłe do jego boków (rys. 11). Proste te wyznaczają punkty $A_1$ , $B_1$ , $B_2$ , $C_2$ , $C_3$ , $A_3$ na brzegu trójkąta $T_1$ . Ponieważ $AB \bot AA_1$ i $AB \bot BB_1$ więc długość odcinka $\overline{AB}$ jest nie większa od długości łamanej $A_1B_1$ . Analogicznie długości odcinków $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ są nie większe od długości łamanych odpowiednio $B_2C_2$ i $C_3A_3$ . Tym bardziej obwód trójkąta $T_2$ jest nie większy od obwodu trójkąta $T_1$ .