XXI OM - II -Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

Dany jest wielomian $P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2$ . Niech $Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k$ będzie wielomianem określonym wzorem

$<br /> Q(x) = P(x) \cdot P(x^3) \cdot P(x^9) \cdot P(x^{27}) \cdot P(x^{81}).<br />$

Obliczyć $\sum_{k=0}^m |b_k|$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy następujące oczywiste fakty:

(1) Iloczyn wielomianów o współczynnikach dodatnich jest wielomianem o współczynnikach dodatnich.

(2) Suma współczynników wielomianu $f(x)$ równa jest $f(1)$ .

(3) Moduły odpowiednich współczynników wielomianów $f(x)$ i $f(-x)$ są równe.

Ponieważ wielomian $P(-x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{6} x^2$ ma współczynniki dodatnie, więc na podstawie (1) wielomian $R(x) = Q(-x) = P(-x) \cdot P(- x^3) \cdot P(- x^9) \cdot P(- x^{27}) \cdot P(- x^{81})$ ma współczynniki dodatnie.

Na podstawie (2) suma współczynników wielomianu $R (x)$ równa jest $R(1) = P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(-1) = 1$ . Zatem na podstawie (3) suma modułów współczynników wielomianu $Q(x)$ równa jest sumie współczynników wielomianu $Q(- x) = R(x)$ , czyli $1$ .