XXI OM - III -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

III

Średnica $\overline{AB}$ dzieli okrąg na dwa półokręgi. Na jednym półokręgu obrano n punktów $P_1 P_2, \ldots, P_n$ tak, że $P_1$ leży między $A$ i $P_2$ , $P_2$ leży między $P_1$ i $P_3$ , $\ldots$ , $P_n$ leży między $P_{n-1}$ i $B$ . Jak należy wybrać punkt $C$ na drugim półokręgu, aby suma pól trójkątów $CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n$ była największa?

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma pól trójkątów $CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n$ jest równa sumie pól wielokąta $P_1P_2 \ldots P_n$ oraz trójkąta $CP_1P_n$ (rys. 13). Pierwsze pole nie zależy od wyboru punktu $C$ . Drugie pole będzie maksymalne, gdy odległość punktu $C$ od prostej $P_1P_n$ będzie możliwie duża. Punkt na okręgu najbardziej oddalony od danej cięciwy leży na symetralnej tej cięciwy. Zatem jako $C$ należy wziąć punkt przecięcia symetralnej odcinka $\overline{P_1P_n}$ z drugim półokręgiem.