XXI OM - III -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

III

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

$ \begin{split} a_1, a_2, \ldots, \\ b_1, b_2, \ldots, \\ c_1, c_2, \ldots, \end{split} $

przy czym jeżeli $i \neq j$ , to $a_i \neq a_j$ , $b_i \neq b_j$ , $c_i \neq c_j$ .
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $k, l$ taka, że $k < l$ i $a_k < a_l$ , $b_k < b_l$ , $c_k < c_l$ .

Rozwiązanie

Ponieważ wyrazy ciągu $a_1, a_2, \ldots$ są różnymi liczbami naturalnymi, a zbiór liczb naturalnych mniejszych od $a_1$ jest skończony, więc wszystkie dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od $a_1$ , tzn.

$ (1) \qquad a_n > a_1 \textrm{ dla } n > n_1. $

Podobnie stwierdzamy, że

$ (2) \qquad b_n > b_1 \textrm{ dla } n > n_2 \textrm{ i} $

$ (3) \qquad c_n > c_1 \textrm{ dla } n > n_3. $

Jeśli więc $n$ jest liczbą naturalną większą od każdej z liczb $n_1, n_2, n_3$ , to nierówności (1), (2), (3) będą prawdziwe dla tej liczby naturalnej.