XXI OM - III -Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

III

Na ile sposobów zbiór złożony z dwunastu elementów można podzielić na sześć rozłączonych zbiorów dwuelementowych?

Rozwiązanie

Oznaczmy jeden z elementów zbioru $12$ -elementowego przez $a_1$ . Podzbiór dwuelementowy zawierający element $a_1$ można utworzyć na $11$ sposobów. Mianowicie należy do $a_1$ dołączyć jeden z pozostałych jedenastu elementów.

Oznaczmy przez $a_2$ jeden z elementów zbioru $10$ -elementowego, który pozostał po utworzeniu zbioru dwuelementowego zawierającego element $a_1$ . Podzbiór dwuelementowy zawierający element $a_2$ można teraz utworzyć na $9$ sposobów. Mianowicie należy do $a_2$ dołączyć jeden z pozostałych dziewięciu elementów.

Postępując dalej analogicznie stwierdzamy, że szukana liczba równa jest $11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3$ .