XXI OM - III -Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXI OM, 1969-1970

Etap:

III

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $A$ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $f(x)$ spełniającego warunek

$ (1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad 0 \leq x \leq 1 $

zachodzi nierówność $f'(0) \leq A$ .

Rozwiązanie

Niech trójmian kwadratowy $f(x) = ax^2 + bx + c$ spełnia warunek (1). Wtedy w szczególności $|f(0)| \leq 1$ , $| f \left( \frac{1}{2} \right)| \leq 1$ i $|f(1)| \leq 1$ .

Ponieważ

$ f(0) = c,\ f(\frac{1}{2}) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c,\ f(1) = a+b+c $

oraz

$ f'(0) = b = 4 (\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c) - (a+b+c) - 3c, $

więc

$ | f'(0)| \leq 4 + \left( \frac{1}{2} \right)| + |f(1)| + 3|f(0)| \leq 4 + 1 + 3 = 8. $

Zatem $A \leq 8$ .

Z drugiej strony trójmian $f(x) = -8x^2 + 8x - 1$ spełnia warunek (1), co łatwo odczytać z jego wykresu (rys. 15). Ponadto $f'(0) = 8$ . Zatem $A \geq 8$ .

Poszukiwana liczba $A$ jest więc równa $8$ .