XVIII ZMPB - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Ciąg liczb całkowitych $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ nazwiemy dokładnym, jeżeli

$ a_n^2-a_m^2=a_{n-m}a_{n+m} \qquad\hbox{dla }n\ge m. $

Wykazać, że istnieje ciąg dokładny, w którym $a_1=1$ , $a_2=0$ , i wyznaczyć $a_{2007}$ .

Rozwiązanie

Wykażemy, że jedynym ciągiem dokładnym $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ , w którym $a_1=1$ oraz $a_2=0$ , jest ciąg określony wzorem

$ (1) \qquad a_n= \begin{cases} 0, & \text{ gdy } $2\,|\,n$,\\ 1, & \text{ gdy } $n\equiv 1\,\,\mod{4}$,\\ -1,& \text{ gdy } $n\equiv 3\,\,\mod{4}$.\\ \end{cases} $

Przypuśćmy więc, że $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ jest ciągiem dokładnym i $a_1=1$ , $a_2=0$ . Udowodnimy indukcyjnie wzór (1). Dla $n=1$ i $n=2$ jest on prawdziwy. Załóżmy z kolei, iż zależność (1) jest spełniona dla $n=2k-1$ i $n=2k$ . Wynika stąd w szczególności, że $a_{2k}=0$ . Korzystając z dokładności danego ciągu obliczamy

$ a_{2k-1}a_{2k+1}=a_{2k}^2-a_1^2=0-1=-1, $

skąd otrzymujemy równość $a_{2k+1}=-a_{2k-1}$ . Ponadto

$ a_{2k+2}^2-a_{2k}^2=a_2a_{4k+2}=0, $

gdyż $a_2=0$ . Wobec tego $a_{2k+2}^2=a_{2k}^2=0$ , czyli $a_{2k+2}=0$ . To kończy dowód indukcyjny równości (1).

Pozostaje sprawdzić, że ciąg określony warunkiem (1) jest ciągiem dokładnym. W tym celu niech $n>m$ będą dodatnimi liczbami całkowitymi. Rozważmy trzy przypadki:

Obie liczby $n$ i $m$ są nieparzyste lub obie są parzyste.

Jeżeli liczby $n$ i $m$ są nieparzyste, to każda z liczb $a_n$ , $a_m$ jest równa $1$ albo $-1$ ; jeśli zaś liczby $n$ i $m$ są parzyste, to $a_n=a_m=0$ . Zatem $a_n^2-a_m^2=0$ . Z drugiej strony, liczby $n-m$ i $n+m$ są parzyste, więc $a_{n-m}=a_{n+m}=0$ .
Liczba $n$ jest parzysta, zaś liczba $m$ jest nieparzysta.
W tym przypadku mamy $a_n=0$ i $a_m=\pm 1$ , czyli $a_n^2-a_m^2=-1$ . Ponadto liczby nieparzyste $n-m$ i $n+m$ dają te same reszty z dzielenia przez $4$ , gdyż ich suma $2n$ jest podzielna przez $4$ . Otrzymujemy stąd $a_{n-m}=a_{n+m}=\pm 1$ , co daje $a_{n-m}a_{n+m}=1$ .
Liczba $n$ jest nieparzysta, zaś liczba $m$ jest parzysta.

Wówczas $a_n=\pm 1$ , $a_m=0$ oraz $a_n^2-a_m^2=1$ . Z kolei liczby nieparzyste $n-m$ i $n+m$ dają różne reszty z dzielenia przez $4$ , ich suma $2n$ nie jest bowiem podzielna przez $4$ . W efekcie jedna z liczb $a_{n-m}$ , $a_{n+m}$ jest równa $1$ , a druga jest równa $-1$ . To oznacza, że $a_{n-m}a_{n+m}=-1$ .

Widzimy, że we wszystkich przypadkach równość $a_n^2-a_m^2=a_{n-m}a_{n+m}$ jest prawdziwy.

Ponieważ $2007\equiv 3\,\mod{4}$ , więc szukana wartość wynosi $a_{2007}=-1$ .