XX OM - I -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ i $b_1, b_2, \ldots, b_n$ są dodatnie, to

$ (1) \; (a_1b_1 + a_2_b2 + \ldots a_nb_n)(\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n}{b_n}) \geq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 $

Rozwiązanie

Lewą stronę $L$ nierówności (1) przekształcamy jak następuje.

$ \begin{split} L & = a_1b_1 \cdot \frac{a_1}{b_1} + a_2b_2 \cdot \frac{a_2}{b_2} + \ldots a_nb_n \cdot \frac{a_n}{b_n} + \left( a_1b_1 \cdot \frac{a_2}{b_2} + a_2b_2 \cdot \frac{a_1}{b_1} \right) +\\ & + \left( a_1b_1 \cdot \frac{a_3}{b_3} + a_3b_3 \cdot \frac{a_1}{b_1} \right) + \ldots + \left( a_{n-1}b_{n-1} \cdot \frac{a_n}{b_n} + a_nb_n \cdot \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}} \right) =\\ & = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + a_1a_2 \left(\frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1} \right) + a_1a_3 \left(\frac{b_1}{b_3} + \frac{b_3}{b_1} \right) + \ldots +\\ & + a_{n-1}a_n \left(\frac{b_{n-1}}{b_n} + \frac{b_n}{b_{n-1}} \right). \end{split} $

Ponieważ dla dowolnych liczb dodatnich $x$ , $y$ zachodzi nierówność

$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2, $

więc

$ L \geq a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3+ \ldots +2a_1a_n, $

czyli

$ L \geq (a_1+a_2+ \ldots +a_n)^2, \textrm{ c.n.d.} $

Uwaga. Powyższe rozwiązanie można przedstawić w następującej postaci. Zarówno lewa strona $L$ , jak prawa strona $P$ nierówności (1) jest równa wielomianowi jednorodnemu stopnia drugiego zmiennych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , co możemy zapisać