XX OM - I -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1) \qquad x + y = (x-y)^2. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ , $y$ spełniają równanie (1) i niech

$ (2) \qquad x- y = r. $

Z (1) i (2) wynika równanie

$ (3) \qquad x+y = r^2. $

Rozwiązując układ równań (2) i (3) względem $x$ i $y$ otrzymujemy

$ (4) \qquad x = \frac{r^2 + r}{2}, \ y = \frac{r^2-r}{2}. $

Jeśli zatem para liczb całkowitych $x$ , $y$ jest rozwiązaniem równania (1), to zachodzą równości (4), gdzie $r$ jest liczbą całkowitą.

Odwrotnie, jeśli $r$ jest dowolną liczbą całkowitą, to liczby $x$ , $y$ określone wzorami (4) spełniają równanie (1), gdyż $\frac{r^2+r}{2} + \frac{r^2-r}{2} =r^2$ , a $\frac{r^2+r}{2} - \frac{r^2-r}{2} =r$ . Liczby te są całkowite, albowiem $r^2+ r(r+1)$ i $r^2-r = r(r-1)$ , jako iloczyny kolejnych liczb całkowitych, są liczbami parzystymi.

Zatem wszystkie rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych wyrażają się wzorami (4), gdzie $r$ oznacza dowolną liczbę całkowitą.