XX OM - I -Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że żadna figura nie może mieć dokładnie dwóch środków symetrii.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkty $O_1$ i $O_2$ są środkami symetrii figury $F$ i niech $O_3$ będzie punktem symetrycznym do $O_1$ względem środka $O_2$ (rys. 1).

Udowodnimy, że punkt $O_3$ jest również środkiem symetrii figury $F$ .

Niech $A$ będzie dowolnym punktem figury $F$ , $B$ - punktem symetrycznym do $A$ względem środka $O_2$ , $C$ - punktem symetrycznym do $B$ względem środka $O_1$ , a $D$ - punktem symetrycznym do $C$ względem środka $O_2$ . Według założenia punkty $B$ , $C$ , $D$ należą do figury $F$ . Zauważmy, że obrazami punktów $B$ , $O_1$ , $C$ w symetrii o środku $O_2$ są odpowiednio punkty $A$ , $O_3$ , $D$ . Ponieważ punkt $O_1$ jest środkiem odcinka $BC$ , więc punkt $O_3$ jest środkiem odcinka $AD$ , zatem punkt $D$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem punktu $O$ .

Stwierdziliśmy, że obraz dowolnego punktu figury $F$ w symetrii względem środka $O_3$ należy też do figury $F$ , zatem $O_1$ i $O_2$ nie są jedynymi środkami symetrii figury, c.n.d.