XX OM - I -Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dane są punkty $A, B, C, D$ nie lezące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że płaszczyzna $\pi$ jest równo oddalona od punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Żaden z danych punktów nie leży na płaszczyźnie $\pi$ , gdyż w przeciwnym razie musiałyby na niej leżeć wszystkie cztery, wbrew założeniu. Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą po jednej stronie płaszczyzny $\pi$ , gdyż musiałyby wówczas należeć do jednej płaszczyzny równoległej do $\pi$ , co znów przeczyłoby założeniu. Wobec tego zachodzi jeden z przypadków:

1. Trzy dane punkty, np. $A$ , $B$ , $C$ leżą po jednej stronie, a czwarty punkt $D$ po drugiej stronie płaszczyzny $\pi$ . Płaszczyzna ta musi wtedy przechodzić przez środki $M$ , $N$ , $P$ krawędzi $AD$ , $BD$ , $CD$ czworościanu $ABCD$ (rys. 2). Odwrotnie, płaszczyzna przechodząca przez punkty $M$ , $N$ , $P$ jest równo oddalona od punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Punkty $M$ , $N$ , $P$ są niewspółliniowe, więc wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Ponieważ zamiast krawędzi wychodzących z wierzchołka $D$ można wziąć krawędzie wychodzące z innego wierzchołka czworościanu, więc są cztery płaszczyzny równo oddalone od punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i spełniające warunek $1$ .

2. Dwa dane punkty np. $A$ i $B$ leżą po jednej, dwa pozostałe $C$ i $D$ po drugiej stronie płaszczyzny $\pi$ . Płaszczyzna ta przechodzi wtedy przez środki $M$ , $N$ , $B$ , $Q$ krawędzi $AD$ , $BD$ , $AC$ , $BC$ czworościanu $ABCD$ (rys. 3). Odwrotnie płaszczyzna przechodząca przez punkty $M$ , $N$ , $R$ , $Q$ jest równo oddalona od punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Otóż punkty $M$ , $N$ , $R$ , $Q$ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę, gdyż są wierzchołkami równoległoboku. Albowiem $MN \parallel AB$ i $RQ \parallel AB$ , więc $MN \parallel RQ$ i tak samo $MR \parallel NQ$ .

Ponieważ zbiór punktów $\{A, B, C, D\}$ można podzielić na dwie pary trzema sposobami, więc są trzy płaszczyzny równo odległe od $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i spełniające warunek 2.

Zadanie ma zatem 7 rozwiązań.