Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XX OM - I -Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

I

Rozwiązać równanie

$<br /> (1) \qquad \left[ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right] - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}<br />$

Uwaga: Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

Rozwiązanie

\spos{1} Dane równanie możemy napisać w postaci

$<br /> (2) \qquad \left[ \frac{x+1}{3} \right] = \frac{x-1}{2}.<br />$

Przypuśćmy, że liczba $x$ spełnia równanie (2). W takim razie liczba

$<br /> y = \frac{x-1}{2}<br />$

jest całkowita. Podstawiając $x = 2y+1$ do (2) otrzymujemy

$<br /> (3) \qquad \left[ \frac{2y+2}{3} \right] = y.<br />$

Zachodzi jeden z przypadków:

a) $y \equiv 0 \pmod 3$ .

Wtedy $\left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y}{3}$ i z (3) otrzymujemy $\frac{2y}{3} = y$ , skąd $y = 0$ , zatem $x = 1$ ;

b) $y \equiv 1 \pmod 3$ .

Wtedy $\left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y+1}{3}$ , więc według (3) $\frac{2y+1}{3} = y$ . Stąd $y = 1$ , a $x = 3$ ;

c) $y \equiv 2 \pmod 3$

Wtedy $\left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y+2}{3}$ , zatem z (3) wynika, że $\frac{2y+2}{3}= y$ . Stąd $y = 2$ , więc $x = 5$ .

Stwierdzamy, że liczby $1$ , $3$ , $5$ spełniają równanie (1). Zadanie zostało rozwiązane.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1255