XX OM - I -Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Kwadrat $ABCD$ obrócono dokoła jego środka $S$ o kąt ostry $\alpha$ , a następnie kwadrat obrócony przesunięto do położenia $EFGH$ o wektor długości boku kwadratu prostopadły do płaszczyzny kwadratu. Obliczyć objętość bryły ograniczonej kwadratami $ABCD$ i $EFGH$ oraz trójkątami $ABE$ , $BCF$ , $CDG$ , $DAH$ , $EFB$ , $FGC$ , $GHD$ , $HEA$ .

Rozwiązanie

Przyjmiemy, że kwadrat obrócono w kierunku wskazanym przez kolejność $A$ , $B$ , $C$ , $D$ jego wierzchołków.

Rozwiązanie ilustruje rysunek 4 przedstawiający rozważaną figurę w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny: poziomą, na której leży kwadrat $ABCD$ oraz pionową. $A', B',\ldots,E'$ oznaczają rzuty poziome, a $A'', B'',\ldots, E'$ - rzuty pionowe punktów $A, B, \ldots, E, \ldots$ .

Wprowadzimy oznaczenia: $a$ - długość boku danego kwadratu, $P$ - ośmiokąt $AE'BF'CG'DG'$ , $\Gamma$ - graniastosłup prosty o podstawie $P_L$ i wysokości równej $a$ , $T$ - trójkąt $AE'B$ .

Bryłę, której objętość $v$ mamy obliczyć, można otrzymać odcinając od graniastosłupa $\Gamma$ osiem ostrosłupów płaszczyznami $ABE$ , $BCF$ , $CDG$ , $DAH$ , $EFB$ , $FGC$ , $GHD$ , $HEA$ . Ostrosłupy te są przystające, jednym z nich jest ostrosłup $O$ o podstawie $T$ i wierzchołku $E$ .

Obliczamy kolejno

$ SA = \frac{a}{\sqrt{2}},\ AE' = 2 \cdot SA \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = a \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2},\ \measuredangle BAE' = \frac{1}{2} \measuredangle BSE' = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}. $

Pole $T = \frac{1}{2} AB \cdot AE' \cdot \sin BAE' = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right)$ .

Pole $P = a^2+4 (\textrm{pole }T) = a^2 \cdot \left[ 1 + 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right. \cdot \left. \sin \left( 45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right]$ .

Objętość $\Gamma =a \cdot(\textrm{pole } P) = a^3 \cdot \left[1 + 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right]$ .

Objętość $O = \frac{1}{3}a \cdot (\textrm{pole } T) = \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right)$ .

$V = \textrm{objętość } \Gamma - 8 \cdot (\textrm{objętość } O) = a^3 \cdot \left[ 1+ \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right]$ .